三角数与费马大定理

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三角数与费马大定理
山东省兰陵县磨山镇华岩寺二村  程中战  程中永

若三角形的三条边为整数且各不相等、两两互质，称其三条边abc为一组三角数。包括直角三角形、钝角三角形及锐角三角形。  
注：本文中的字母皆表示正整数。
费马大定理：要把一个立方数分成两个立方数，把一个四次幂分成两个四次幂，一般地，把任何一个高于二次的幂分成两个同次幂，都是不可能的。
求证：cn≠an+bn （a,b,c,n为正整数，n>2）
证明：
一、        下列几种情况只需简单的推理即可证明其符合定理（证明从略）：
1、a、b、c三个数不能构成三角形；
2、等腰三角形的三条边（包括底大于腰及底小于腰两种情形）；
当a=b时，           
当c为整数时，a必为无理数。
3、等边三角形的三条边。
二、“三角数”的情形，运用体积公式V=Sh
1、在直角三角形中：
c2=a2+b2,c3=(a2+b2)c  (h=c),c3=ca2+cb2所以c3≠a3+b3
c4=(a2+b2)c2,c4=c2a2+c2b2,所以c4≠a4+b4
…………………………………………………………
cn=(a2+b2)cn-2,cn=cn-2a2+cn-2b2,所以cn≠an+bn
2、在钝角三角形中：
c2＞a2+b2此不等式左边乘以c得c3，右边乘以h(h＞c)，这样才可使两边体积相等。
c3=(a2+b2)h,c3=ha2+hb2，所以c3≠a3+b3
c4=(a2+b2)h12 ,( h1＞c),c4=h12a2+h12b2,所以c4≠a4+b4
……………………………………………………………………
cn=(a2+b2)hn-3 n-2,(hn-3＞c)
cn= hn-3 n-2 a2+hn-3n-2b2,所以cn≠an+bn
3、在锐角三角形中：
引理：apbq≠yp+q  (a b y p q均为正整数，a b y两两互质，b<y<a)
证明：先证明原命题的逆否命题成立
假设apbq=yp+q   
则ap= yp+q/bq  约去分母后，a与y必有公约数
bq=yp+q/ap约去分母后，b与y必有公约数
因此,即使a与b互质，但a与y，b与y一定不能互质，
所以，a b y不能两两互质
又因原命题与其逆否命题是等价的，故，原命题成立。
在锐角三角形中,c2＜a2+b2,此不等式左边乘以c得c3,右边乘以h(h＜c)，这样才可使两边体积相等。c3=(a2+b2)h
当h=a时，c3=(a2+b2)a,c3=a3+ab2，
由引理可知ab2不是立方数，因为，假设ab2是一个立方数
令ab2=y3,这样a与y就必有公约数，致使c a y也有公约数，这与题设（三角数abc两两互质）相矛盾，所以c3≠a3+b3,c3≠a3+y3
c4=(a2+b2)h12,(h1＜c)
当h1=a时，c4=(a2+b2)a2,c4=a4+a2b2，由引理可知a2b2不是四次幂，所以c4≠a4+b4，c4≠a4+y4
……………………………………………………………………
cn=(a2+b2)hn-3 n-2,(hn-3＜c)
当h n-3=a时，cn=(a2+b2)an-2,cn=an+b2 an-2，
由引理可知b2an-2不是n次幂，
所以cn≠an+bn ,cn≠an+yn
在直角、钝角及锐角三角形这三个集合中，每个集合都含有无穷多组三角数，而每一组三角数均被证明，不存在一个高于二次的幂分成两个同次幂，故，费马大定理成立。
2016年4月5日   

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