敢峰先生太伟大了！

雷明85639720

敢峰先生太伟大了！
——学习敢峰先生证明4CC有感
雷  明
（二○一六年八月十七日）

“敢峰先生太伟大了！”这是我最近重新学习敢峰先生的书——《4CC和1＋1的证明》时，随手在书中的第一篇文章《四色定理简证》后所写的几个字，也是我看后的感想。敢峰先生是我们中国人，中国人太伟大了，中国人真了不起！我认为敢峰先生是一个半世纪以来，全世界证明了四色猜测的第一人！
敢峰先生也是一位四色爱好者，他从一九七九年开始，研究四色问题，到写《四色定理简证》正好三十年。他与别人的研究方法截然不同，一般的人在遇到一个图时，就只想把它完成4—着色，但由于图是无穷多的，也是不可能4—着色完的。正象敢峰先生所说的那样“先假设，后论证，设想出各种各样的情况，分门别类逐一加以证明，似乎是可以采取的，但情况太复杂，无论怎样设想，怎样穷举，也不能终其极，即使运用电子计算机对此也无能为力”。本人也是有这一同样的看法的。
敢峰先生的出发点正好与一般人不同，他在遇到能4—着色的图时，不是想先对其进行4—着色了事，而是设置各种障碍，使其不能4—着色。在经过二十步大演绎之后，终于在一九九二得到了一个与当时英国的米勒等构造的完全相同的图，如图1和图2。由于该图是先生与米勒几乎是在同一时间所构造的，所以现在我认为应把该图叫做GM—图或构形了。该两个图表面上看好象是两个图，实际上一同一个图，他们的对应顶点的相邻关系是完全相同的。由于图是可拓扑的，这两个图只是在画法上不同而已。米勒图中的待着色顶点是隐藏的，是在图中的5—边形无限面内；而敢峰图中的待着色顶点则是明显的，是在图最中间的那个顶点V。实际上，当把敢峰的图最中间的待着色顶点V去掉后，是很容易把敢峰的图变成米勒图的。

当米勒对该图施行他们叫做“赫渥特颠倒”的方法时，发现出现了所谓的循环现象（其实还没有出现真正的循环呢），就认为该图是不可4—着色的。因此他们也就放弃了他们原来所想的、企图用赫渥特颠倒法证明四色猜测的想法。米勒只给出了一个图，也没有说明该图是如何得来的，使人不可能认为以后就再不会有别的更复杂的构形出现了。
但敢峰先生却不是这样，他发现这个图在继续进行演绎（敢峰先生的演绎，与米勒的赫渥特颠倒实际上是一回事）二十次时，图就会完全变成图2的图，图中各顶点所着的颜色就会与原来所着颜色完全相同（这才是真正的出现了循环）。而且在这一轮的演绎过程中，每演绎一次所得的图中都始终存在着一条A—B环形的二色通道（即环形链），所以交换该二色环链环内、环外的相反色链C—D链，就可以使图变成一个坎泊早已证明过是可4—着色的构形，证明了GM—图（构形）是可约的。敢峰先生的这一演绎过程，以及他对GM—图的着色方法，已经在他于一九九四年六月出版的《证明四色定理的新数学》一书中已作了祥尽的叙述。后来张彧典先生在对米勒图（M—图）的研究后，却在二○一○年十月出版的《四色问题探秘》一书中，把同样的一种对GM—图着色的方法，称作Z—换色程序和Z＇—换色程序，是不太合适的。因为敢峰先生在前，张先生在后，应以敢峰先生的名字命名为好。
敢峰先生用演绎方法的这一推理过程，一步步排除了四色可解的构形，最后得到的仍是一个四色可解的构形。不但说明了GM—构形（图）是可约的，而且也说明了除此构形之外，再也没有其他构形是不可4—着色的了，这也就能够就明四色猜测是正确的了。以后再也不会出现象赫渥特否定坎泊那样的事发生了。这一证明方法也不需要再去证明到底有多少个类赫渥特构形的问题了。
证明四色猜测，最终的目的还是要解决对平面图的4—着色问题。但敢峰先生却只解决了证明的问题，只说明了四色猜测是正确的，或者说只解决了GM—图或构形的4—着色问题，其他非GM—图的图的4—着色问题，先生却并没有说，这不免就成了一个缺陷。比如，先生在演绎过程中一个个的认为是可以4—着色的图道底应如何4—着色，他并没有说明。
再具体点说，如赫渥特构形，敢峰先生就没有提出具体的着色方法。敢峰先生对GM—图再进行一次演绎，得到的就已经是具有赫渥特图特征的图，对这个具有赫渥特图特征的图再进行一次演绎，得到的又是具有GM—图特征的图，而且以后再进行演绎时，图都只是在这两种图之间变化的。但敢峰先生和张彧典先生却都没有看到这一点。而只是笼统的知道以后的图中都有A—B环形链，交换该环形链内、外的C—D链就可以使图变成坎泊构形。他们都没有说明为什么要这么做。另外，还有几种含有两条相交叉的连通链，都是可以同时移去两个同色的构形，先生却在演绎前的一阶四色不可解线路基准图中，已经把它们都排除掉了，一心只想寻求四色不可解的图，所以也没有专门谈及这几种构形的图是如何4—着色的，这不能说不是一点缺陷。
另外敢峰先生的大演绎中，每一步中都只画了一个图，使得看起来很费劲，若再增加一个图时，可能就会更明白一些。敢峰先生在画图时，同一个图用了两种表示方法，中间的5—轮是用“面”来表示“区划”的，而其他地方却是用“顶点”表示“区划”的图。这一不统一，也就增加了看图的难度。若用图论中的习惯方法，都用顶点表示区划时，我想会理更好一些。对于敢峰先生文章中的不足之处，笔者想在有时间时，把敢峰先生的二十步大演绎再进行一下具体的分析和演视，以帮助读者更容易看懂敢峰先生的书。



雷  明
二○一六年八月十七日于长安

    注：此文已于二0一六年八月二十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，

zengyong

其实敢峰图用我的顺序着色法很容易实现正常4-着色.
其方法是:1. 任意规划几个轮形位置,中心顶点着白色.
2. 将轮形中心顶点(白色)和边删去.
3. 剩下的图已经很简单,使用另外三色着色(它们与白色没有颜色冲突).
4.恢复删去的轮形的中心顶点(白色)和边, 一个正常4-着色的原图已完工.
(可惜我不知道贴图,否则很明白了 著名的反例也一样可解决)

雷明85639720

峥嵘先生，请你能请别人帮忙把你的图发上来。

zengyong

c:/abcd2.jpg

zengyong

图3  首先规划轮形位置，图中用白色的顶点表示轮形中心顶点
图4  删去白色的顶点和边（方便下一步分析和着色，此步骤亦称为图收缩）。按顶点顺序着另外三色（黑、深灰和浅灰色）1、2、3、4、5、6号顶点是很容易确定的，剩下其他顶点要稍多用心，但并不难。
图5  恢复白色顶点。注意：白色顶点和另外三色顶点的颜色不会有冲突（即相同），再恢复所有的边，就得到一个正常4-着色的敢峰图。


由以上操作说明顺序着色法是很管用的。本情况没有遇到要调整轮形结构的位置。如果有需要调整轮形结构的位置，只须按一定的方法调整轮形结构的位置，最后还是可以实现正常4-着色的原图。

zengyong

顺序着色法

顺序着色法定义： 对于一个k-色图，根据顶点颜色关系、按照一定的顺序能给顶点实现正常k着色，则称此顺序为正确的着色顺序，此方法称为顺序着色法。显然，利用顺序着色法进行着色，后面着色的顶点颜色是顺从于前面着色的顶点颜色关系的。换句话说，后面着色的顶点可以不考虑它们的存在，即可以使用这一原则将复杂的图收缩为简单的图。那么顺序着色法的实际操作步骤就包括：1、图收缩：将复杂的图化为简单的图，进行分析关键顶点的颜色关系；2、确定正确的轮形结构位置；3、按照正确的着色顺序完成正常4-着色。

雷明85639720

回复增勇朋友：
1、如果敢峰图是一个没有着色的图，你无论用什么方法，我想你一定是会把其4—着色的；而现在的敢峰图却不是一个未着色的图，而是只有一个顶点未着上已用过的四种颜色之一的图，让你对这个顶点去着上图中已用过的四种颜色之一。这既是一个着色的问题，又是一个证明的问题，如何着的，要说出个名堂来的，不是用什么方法只要着上就了事的问题。
2、你的顺序着色法，很可能是一种很好的着色方法，但不是证明方法，你的方法对所有的连一个顶点也没有着色的图可能都能4—着色，但不一定能用在对敢峰图（只剩一个顶点未着色）的着色上，你把敢峰图各顶点原来的颜色都去掉了，那算什么证明吗，不纯是对一个未着色的图在着色吗。
3、你说的收缩是对的，任何图都可以收缩为一个Kn图，这个Kn图一定是可以n—着色的，因为收缩时是把互不相邻的顶点收缩成了一个顶点，而这些顶点又是可以着上同一颜色的。但你并没有证明这一点，你也没有把敢峰图收缩成一个K4图，着上4种颜色而后再展开成敢峰图。图论中有两种收缩，不相邻顶点可以收缩，相邻顶点也可以收缩，我为了区别，而把不相邻顶点间的收缩叫“同化”，但这一词语并不是我创造成的，也是图论中已现成就有的。
4、你的“确定正确的轮形结构位置”一步，只说了一名话，为什么要这样做，如何去做，原理是什么，你都只字未提，不能使人信服。
5、 你的顺序着色法的定义就是不准的，你说“对于一个k-色图，根据顶点颜色关系、按照一定的顺序能给顶点实现正常k着色，则称此顺序为正确的着色顺序，此方法称为顺序着色法。”对于一个图，你如何能知道其色数就是几呢，按你的顺序着色方法着好色后，你怎么又能知道它是否是正常着色呢。
6、不明白你“利用顺序着色法进行着色，后面着色的顶点颜色是顺从于前面着色的顶点颜色关系的。换句话说，后面着色的顶点可以不考虑它们的存在，即可以使用这一原则将复杂的图收缩为简单的图”说的是什么意思。

雷明85639720

，，，，

zengyong

"回复增勇朋友：
1、如果敢峰图是一个没有着色的图，你无论用什么方法，我想你一定是会把其4—着色的；而现在的敢峰图却不是一个未着色的图，而是只有一个顶点未着上已用过的四种颜色之一的图，让你对这个顶点去着上图中已用过的四种颜色之一。这既是一个着色的问题，又是一个证明的问题，如何着的，要说出个名堂来的，不是用什么方法只要着上就了事的问题。"


答:  
四色定理的着色原则只有两个：1、只用4种颜色；2、相邻的顶点的颜色不能相同。
无论用什么方法，作到以上两点的有色图都算做正常4-着色。
您现在提出的条件已超出四色定理的着色原则，那就不是讨论四色定理的证明问题。我也没有必要发言了。
其实，在你谈论中其他顶点的颜色还是可以改变的，否则v顶点与2A、3B、5C、4D（四色）
邻接怎么不是五色呢？