对敢峰先生在4CC证明中的有关专业术语的建议

雷明85639720

对敢峰先生在4CC证明中的有关专业术语的建议
雷  明
（二○一六年八月二十一日）

我在《对敢峰先生二十次大演绎的剖析》一文中已经对先生提出了把“区划”统于用顶点（小园点）表示成符合图论要求的建议，这里还要就有关专业术语的定义提如下的建议：
敢峰先生文中有“一阶四色不可解线路基准图M”和“二阶四色不可解线路基准图N”的术语，我认为这个提法不大合理，请先生考虑。

1、把“四色不可解”应改成“四色难解”：
首先，这里都有五个字“四色不可解”，这与先生的证明最后所得出的结论是不相符合的。实际上先生的M和N最后都是四色可解的。建议把“四色不可解”五个字改成“四色难解”四个字，“难解”并不是“不可解”，最终仍是“可解”的。用了“四色不可解”还容易使读者产生疑问，既然已经产生了“四色不可解”的图了，那不就说明了四色猜测是不正确的了吗，为什么还要继续证明下去呢。
2、一阶图M的解法：
敢峰先生的二阶图N（如图1），是一个极大图，但他的一阶图M（如图2）却不是极大图，且它并不是一个四色难解的图，而是一个可以同时移去两个同色B给待着色顶点V着上的图，如图3和图4。M图正确的画法应是图5，这才是一个“四色难解”的图，这就是赫渥特的图简化后的“九点形”构形。

可以看出，图5中有一条环行的C—D链，把A—B链分成了互不连通的两部分，可以交换任一部分A—B链，即可使图中原有的两条连通链A—C和A—D都断开，使图变成坎泊构形的图，图中也就不再存在两条连通的、且相交两次以上的连通链了，如图6。

对图6从1A分别交换A—C或A—D，都可给待着色V着上A（如图7和图8）；若分别从5C或4D交换A—C或A—D时，也可分别给V着上C或D。再若对图5从2A交换A—B时，又会有不同的着色模式。这也就是对赫渥特图类构形的4—着色的特殊方法——断链法。请先记住，这里的断链是从两相交链的相交顶点断链的。
这里把图5看成是一阶M图，并不会影响在构造二阶N图时是从图2开始的。正象先生有在演绎过程中，为了造成四色难解的情况，有时可以把原来某些顶点颜色进行改动的情况一样，在演绎开始时，仍是可以用图2的基准图的。
3、把“线路基准图”应改为“基准构形”：
二是，这里的“一阶”和“二阶”概念不清。“阶”是指什么呢，没有说明。我认为可不可以这样来理解“阶”的意思。一阶图M（图5）中有一种环形的A—B链，是以待着色顶点V为中心的环；而二阶图N（图1）中有两种环形链，A—B链和C—D链都是环形的，这是两种相反的色链（相反色链是两链中的两种颜色都不相同的色链），不可能相交，只能是以待着色顶点V为中心的两个同心环。还可以看出，两种环形的相反色链的颜色，在5—轮轮沿顶点上是相邻顶点的颜色。在图5的一阶图M中的环形的C—D链是相邻的顶点4和5的颜色；在图1的二阶图N中的环形的C—D链也是相邻顶点4和5的颜色，环形的A—B链也是相邻顶点1和2、2和3的颜色。虽然5—轮轮沿上相邻顶点1和5的颜色B和C可以构成色链B—C，但其相反色链A—D的颜色在5—轮轮沿中却是不相邻的。这就说明5—轮轮沿相邻顶点所能构成的相反的环形色链只能有两种，即C—D链和A—B链。有一种者是否可叫“一阶”，两种同时有者是否可叫“二阶”。“阶”就是5—轮轮沿相邻顶点所构成的环形链的种类数，但不是条数。在张彧典先生的《探秘》一书中的图8•2中虽有多条环形A—B链，但也只是属于一种，图中又有C—D环形链，所以该图仍是一个二阶图N的图。
另外，我们要认识到图5 的一阶图M和图1的二阶图N，都不是具体的图，其中的每一条边是代表着由该边的两个顶点的颜色所构成的一条色链，图5和图1分别只是顶点数最少的一阶图M和二阶图N。既然不是具体的图，用“构形”的概念更合适一些。图已经用图论中的正规表示方法表示了，就应去掉“线路”二字。所以敢峰先生的“一阶四色不可解线路基准图M”和“二阶四色不可解线路基准图N”的术语，就应该说成是“一阶四色难解基准构形M”（简称一阶构形M）和“二阶四色难解基准构形N”（简称二阶构形N）的术语。由于四色难解的阶最大只能是2，所以对“二阶四色难解基准构形N”再进行二十次大演绎后，图就又返回到了二阶四色难解基准构形N上来了，出现了真正的循环。
4、“二阶四色难解基准构形N”的解法：
首先，我们还要想到把连通链破坏，如何去进行操作呢？我们看到，图1中有一条环形的A—B链，把C—D链分成了互不相连通的两部分，交换任一部分的C—D链，就可以达到断开原有连通链的目的。的确，从顶点4和5进行了C—D链的交换后，也就可使原有的A—C链和A—D链断开，成为坎泊构形，如图9。再从顶2A交换A—C（或A—D），可空出C（或D）给V着上，如图10。这也是一种断链的方法，但这次断链不是从两相交链的相交顶点断链的，而是从两相交链的非相交顶点断链的。这就是二阶构形N与一阶构形M解决办法的不同之处。

5、四色猜测的证明：
要证明四色猜测，就得证明除了一阶构形M和二阶构形N外，再也没有别的“几阶”构形了。我们已经知道，“阶”在这里是指5—轮轮沿相邻顶点的颜色构成的相反环形色链的种数，且也证明了5—轮轮沿相邻顶点的颜色构成的相反环形色链只可能有两种，即A—B链和C—D链两种，这就说明了不可能有大于二阶的构形了。也不可能有人象赫渥特否定坎泊那样，再提出一个新的构形来了。小于等于二阶的构形都是可约的，加上坎泊已经证明过的是可约的其他构形，就说明了所有的构形都是可约的，四色猜测也就得到证明是正确的了。

雷  明
二○一六年八月二十一日于长安

注：此文已于二○一六年八月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

，，，，