有三个正质数，它们的乘积是它们相加之和的 31 倍，求这三个质数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

非常数1

三个质数碰到 2， 3 ，5 都比较好解

luyuanhong

谢谢楼上 非常数1 的解答。下面是此题的详细解答过程：

题  有三个正质数，它们的乘积是它们相加之和的 31 倍，求这三个质数。

解  设这三个正质数为 a,b,c 。根据已知条件有 abc=31(a+b+c) 。

    可以看出，a,b,c 中必有一个数等于 31 ，不妨设 c=31 。这时有

    31ab=31(a+b+31) ，ab=a+b+31 ，(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=31+1=32 。

    两个正整数 a-1 与 b-1 相乘等于 32 , 只可能有下列几种情形：

（1） a-1=1 ，b-1=32 。这时 b=32+1=33 不是质数，不符合要求。

（2） a-1=2 ，b-1=16 。这时 a=2+1=3 ，b=16+1=17 ，都是质数，符合要求。

（3） a-1=4 ，b-1=8 。这时 b=8+1=9 不是质数，不符合要求。

    所以，这三个质数是 3 ，17 ，31 。