一大一小两正方形面积之和为 1 ，求图中斜线三角形面积最大时，两个正方形的面积边长

luyuanhong · 发表于 2016-8-24 17:40

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

一大一小正方形面積的和是1, 求斜線三角形部分面積和最大

且此時這兩個方形面積邊長各為____ 和____

朱明君 · 发表于 2016-8-24 18:03

一大一小正方形面積的和是1, 求斜線三角形部分面積和最大

且此時這兩個方形面積邊長各為0．8 和0．6
三角形部分面積0．06

luyuanhong · 发表于 2016-8-24 23:00

朱明君 · 发表于 2016-8-25 12:01

大正方形的边长为0.8    面积为0.64
小正方形的边长为0.6    面积为0.36
三角形面积为0.06 只有一个值

中国上海市 · 发表于 2016-8-25 13:00

这题能用导数做吗

luyuanhong · 发表于 2016-8-25 13:02

朱明君发表于 2016-8-25 12:01
大正方形的边长为0.8 面积为0.64
小正方形的边长为0.6 面积为0.36
三角形面积为0.06 只有一 ...

这个答案显然不对。请看我在第 3 楼中的解答。

在第 3 楼中，求得三角形面积的最大值为（√2-1）/4 = 0.10355339… ，

比楼上算出的三角形面积 0.06 要大得多。

luyuanhong · 发表于 2016-8-25 13:17

朱明君发表于 2016-8-25 12:01
大正方形的边长为0.8 面积为0.64
小正方形的边长为0.6 面积为0.36
三角形面积为0.06 只有一 ...

如果楼上不熟悉用根号表示的式子，下面我给出一个用小数表示的例子：

设大正方形的边长为 0.96 ，面积为 0.9216 。

设小正方形的边长为 0.28 ，面积为 0.0784 。

这时，三角形面积为 0.0952 ，虽然还达不到最大值，但这个值也要比 0.06 大。

可见，楼上给出的大正方形边长 0.8 ，小正方形边长 0.6 的解，并不能使三角形面积达到最大，

所以，这个解根本不是本题的所要求的解。

中国上海市 · 发表于 2016-8-25 16:32

这题若把面积改成周长该怎么做

luyucheng1 · 发表于 2016-8-25 17:00

按照陆老师的图，s为三角形面积。
2s=cosx(sinx-cosx)=(sin2x-cos2x+1)/2
4s'=cos2x+sin2x=0 tan2x=-1 2x=3pi/4 x=3pi/8
计算x的正余弦值即可得边长。边长平方可得面积。

王守恩 · 发表于 2016-8-25 17:35

本帖最后由王守恩于 2016-8-26 08:32 编辑

阴影部分面积：

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一大一小两正方形面积之和为 1 ，求图中斜线三角形面积最大时，两个正方形的面积边长

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