A 袋有 2 个十元，B 袋有 3 个五元，每次取一币互相交换，求 3 次后 A 袋钱数的期望值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

設 A袋有2個十元硬幣，B袋有3個五元硬幣，

從A袋任取一個錢幣與B袋任取一個錢幣互換，進行3次後，

求A袋中錢幣金額的期望值為?

問題1

本題 A 袋 與 B 袋各維持 2 與 3 個硬幣。

依上述，當金額 (A袋 , B袋) = (a , b) 時，進行一次互換後，

金額期望值 [A袋 , B袋] = [ (a/2) + (b/3) , (a/2) + (2b/3) ]

請問上述的過程是為什麼且根據什麼原理?

問題2

依據期望值的定義，可知上述遞推關係亦適合於金額期望值 (A袋 , B袋) = (a , b) 時。

以下依此依序計算兩袋金額期望值 (注意總金額不變):

(a , b) = (20 , 15) → (15 , 20) → (85/6 , 125/6) → (505/36 , X)

問題3

上述過程，亦可用 (a , b) 與二階方陣的線性變換表示; 該二階方陣亦具"推移矩陣"之形式。

這個線性變換是指? 為什麼跟推移有關係?

Ysu2008

题：A 袋有 2 个十元，B 袋有 3 个五元，每次取一币互相交换，求 3 次后 A 袋钱数的期望值。
解：
以 a 表示十元硬币，b表示 5 元银币，那么 A袋 的状态共有 3 种：(a,a)，(a,b)，(b,b)
根据题意可算得3种状态相互转移的概率，矩阵形式为：

P=

i\j	(a,a)	(a,b)	(b,b)
(a,a)	0	1	0
(a,b)	1/6	3/6	1/3
(b,b)	0	2/3	1/3

由上可得3步转移概率矩阵:
P^3 =

i\j	(a,a)	(a,b)	(b,b)
(a,a)	1/12	23/36	5/18
(a,b)	23/216	127/216	11/36
(b,b)	5/54	11/18	8/27

由P^3矩阵第一行可得：从初始状态(a,a)，经3步转移到(a,a)的概率为 1/12, 对应金额 20元；
转移到(a,b)的概率为 23/36, 对应金额 15元；
转移到(b,b)的概率为 5/18, 对应金额 10元.

所以期望值 = 20×(1/12)+15×(23/36)+10×5/18 = 505/36

luyuanhong

下面是按照一般正常思路作出的解答（与楼上 Ysu2008 解法是一样的）：

luyuanhong

下面是按照第 1 楼中的特殊思路作出的解答：

angel_phoenix88

第一次交换完A里面只能一张10元 一张5元，B里面一张十，两张5
第二次交换完毕，A两张十元的概率1/6,两张五元概率1/3,一张5元一张十元几率1/2
                                 对应B三张5,                 两十一五                 两五一十
第一种状况作第三次交换后A只能是一张十一张5,对A数学期望的贡献15/6
第二种状况作第三次交换,2个五的概率1/9,一个五一个十的概率2/9，对数学期望贡献40/9
第三种情况作第三次交换，两个十的概率1/12,两个五概率1/6,一个五一个十概率1/4，贡献20/12＋10/6＋15/4＝85/12
求和等于505/36