[原创]长度和面积问题

技术员 · 发表于 2010-10-26 12:35

[watermark]n多边形的边的长度对于n多边形的面积存在什么对应的关系吗?[/watermark][br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 技术员 在时添加 -=-=-=-=-
A=f(L(1),...,L(n),b),A为面积,L为n多边形各边的长度.b为某个参数.

luyuanhong · 发表于 2010-10-26 18:47

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/26 06:47pm 第 1 次编辑]

下面引用由技术员在 2010/10/26 00:35pm 发表的内容：
(水印部分不能引用)
-=-=-=-=- 以下内容由技术员在时添加 -=-=-=-=-
A=f(L(1),...,L(n),b),A为面积,L为n多边形各边的长度.b为某个参数.

两个相似的多边形，它们的面积之比，等于它们的对应边长度之比的平方。
如果两个多边形不相似，则没有上面讲的这种关系。

技术员 · 发表于 2010-10-26 18:54

下面引用由luyuanhong在 2010/10/26 06:47pm 发表的内容： 两个相似的多边形，它们的面积之比，等于它们的对应边长度之比的平方。
如果两个多边形不相似，则没有上面讲的这种关系。

陆教授误解了我的意思: 我不是想将两个多边形来对比,而是想求出一个函数: A=f(L(1),...,L(n),b),A为面积,L为n多边形各边的长度.b为某个参数. f(L(1),...,L(n),b)的展开式. [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 技术员 在时添加 -=-=-=-=- 可从三角形开始 A=f(L1,L2,L3) f(L1,L2,L3)=?

技术员 · 发表于 2010-10-26 18:58

b参数表示可为凸多边形等情况

luyuanhong · 发表于 2010-10-26 21:34

下面引用由技术员在 2010/10/26 06:54pm 发表的内容：
陆教授误解了我的意思:
我不是想将两个多边形来对比,而是想求出一个函数:
A=f(L(1),...,L(n),b),A为面积,L为n多边形各边的长度.b为某个参数.
f(L(1),...,L(n),b)的展开式.
...

当已知三角形边长为 a,b,c 时，三角形面积 S 可以由下列公式求出；

S =√［p(p-a)(p-b)(p-c)］，其中 p=(a+b+c)/2 。

当多边形的边数 n>3 时，这个多边形的面积不能表示成由边长唯一确定的函数，
因为同样的边长，可以有不同的面积。
例如，已知一个 4 边形的 4 条边长都是 1 ，它可能是一个边长为 1 的正方形，
也可能是一个边长为 1 、4 个角都不是直角的平行四边形。正方形的面积等于 1 ，
平行四边形的面积小于 1 ，面积不是唯一确定的。

技术员 · 发表于 2010-10-26 21:51

下面引用由luyuanhong在 2010/10/26 09:34pm 发表的内容： 当已知三角形边长为 a,b,c 时，三角形面积 S 可以由下列公式求出；
S =√［p(p-a)(p-b)(p-c)］，其中 p=(a+b+c)/2 。
当多边形的边数 n>3 时，这个多边形的面积不能表示成由边长唯一确定的函数，
　...

清问陆教授?必须加上什么参数才能唯一确定呢?对于5边形也是这种情况吗?

luyuanhong · 发表于 2010-10-26 22:46

下面引用由技术员在 2010/10/26 09:51pm 发表的内容：
清问陆教授?必须加上什么参数才能唯一确定呢?对于5边形也是这种情况吗?

要确定一个 4 边形，除了 4 条边长以外，还需要加 1 个条件（内角或对角线长）；
要确定一个 5 边形，除了 5 条边长以外，还需要加 2 个条件（内角或对角线长）；
要确定一个 6 边形，除了 6 条边长以外，还需要加 3 个条件（内角或对角线长）；
要确定一个 7 边形，除了 7 条边长以外，还需要加 4 个条件（内角或对角线长）；
………
要确定一个 n 边形，除了 n 条边长以外，还需要加 n-3 个条件（内角或对角线长）。

技术员 · 发表于 2010-10-27 18:12

下面引用由luyuanhong在 2010/10/26 10:46pm 发表的内容： 要确定一个 4 边形，除了 4 条边长以外，还需要加 1 个条件（内角或对角线长）；
要确定一个 5 边形，除了 5 条边长以外，还需要加 2 个条件（内角或对角线长）；
要确定一个 6 边形，除了 6 条边长以外， ...

如果只加一个外接圆半径的条件呢?

luyuanhong · 发表于 2010-10-27 21:16

下面引用由技术员在 2010/10/27 06:12pm 发表的内容：
如果只加一个外接圆半径的条件呢?

一般的多边形，不一定有外接圆，比如说，非矩形的平行四边形，就没有外接圆。
如果已知一个多边形有外接圆，而且已知外接圆半径和多边形的边长，那么，这个
多边形的面积是可以求出来的。

技术员 · 发表于 2010-10-27 21:37

如果已知一个多边形有外接圆，而且已知外接圆半径和多边形的边长，那么，这个
多边形的面积是可以求出来的。
那么函数表达式应该是什么?

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