实系数方程 x^2-ax+b=0 的实根α,β满足 -1≤α≤0 ，1≤β≤2 ，求 a^2+b^2 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

王守恩

1、a^2+b^2=（β+α）^2+（βα）^2=（β-（-α））^2+（βα）^2
2、联系本题，我们有：
     “1”乘以“一个数”的积，比任何大于“1”的数乘以“一个数”的积，都要小；
     “1”减去“一个数”的差，比任何大于“1”的数减去“一个数”的差，都要小；
    有点拗口，把这两句话反复念几遍，就可得：β=1。
3、联系本题，显然有：
   （1-α）+α=1
    也就是说：
    在长度 “1”的线段上作两个正方形，两个正方形边长的和是1，要使两个正方形面积的和最小
    我们有：两个正方形边长相等，两个正方形面积的和最小
4、a^2+b^2=（β+α）^2+（βα）^2=（1+（-0.5））^2+（1×（-0.5））^2=1/2
5、拓展，条件放宽：
     -∞≤α≤0， 1≤β≤∞，答案都是一样的。
     

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88

根据根与系数关系，可以判断出－2≤b≤0，a≥0；
此外，根据抛物线f(x)＝x^2-ax+b与x轴的交点位置,可以得出
f(-1)≥0,和f(1)≤0
获得a+b+1≥0和
b+1－a≤0两个不等式，可以得出
a^2≥(b+1)∧2
原题转化为:
a^2+b^2≥(b+1)∧2+b^2＝2(b+1/2)^2+1/2，求b在闭区间(-2，0)里的最小值
很显然b＝-1/2时，a^2+b^2取得最小值1/2，此时a＝1/2

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

1、a^2+b^2=（β+α）^2+（βα）^2=（β-（-α））^2+（βα）^2
2、联系本题，我们有：
      “1”减去“一个数”的差，比任何大于“1”的数减去“一个数”的差，都要小；
      “1”乘以“一个数”的积，比任何大于“1”的数乘以“一个数”的积，都要小。
    有点拗口，把这两句话反复念几遍，就可得：β=1。
3、联系本题，显然有：
   （1-α）+α=1
    也就是说：
    在长度 “1”的线段上作两个正方形，两个正方形边长的和是1，要使两个正方形面积的和最小
    我们有：两个正方形边长相等，两个正方形面积的和最小
4、a^2+b^2=（β+α）^2+（βα）^2=（1+（-0.5））^2+（1×（-0.5））^2=1/2
5、拓展，条件放宽：
     -∞≤α≤0， 1≤β≤∞，答案都是一样的
6、朋友！做一道题重要的是拓展，你才会有收获！

陆老师：提两点
1、帖子搬走了，目录上的名号能不搬走吗？
2、《陆元鸿数学中国园地》是个好去处，里面有很多数学结晶，本人也是很认真的在吸取营养，恭维的话就不说了。
     "欢迎真正热爱数学的网友到陆元鸿《数学中国园地》来看看"，能否去掉“真正”两个字。