任意完全图的顶点数与其亏格的相互关系

雷明85639720

任意完全图的顶点数与其亏格的相互关系
雷  明
（二○一六年九月五日）

从已证明是正确的哈得维格尔猜想“每一个连通的n—色图都可收缩到Kn”和任何图的色数都等于其最小完全同态的顶点数的结论（哈拉里），都说明了完全图的色数就是其顶点数是正确的。
1、基本关系式
因为多阶曲面上图的边数与顶点数的关系是：
e≤3v－6（1－n）（v≥3）                        （1）
式中n是图和曲面的亏格，而图的最小完全同态就是一个完全图，把完全图的边与顶点的关系
e＝v（v－1）/2                                  （2）
代入（1）式中，得到
v（v－1）/2≤3v－6（1－n）                      （3）
（3）式整理后是一个一元二次不等式
v2－7v＋12（1－n）≤0                           （4）
公式（4）是一个最基本的公式，从该公式可以推导出任意完全图的亏格与其顶点数的关系，以及任意完全图的顶点数与其亏格的关系，也就是任意完全图的色数与其亏格的关系。
2、任意完全图的亏格与其顶点数的关系
把公式（4）中的亏格n作为未知数时，解这个一元二次不等式得
    n≥（v―3）（v―4）/12（v≥3）                  （5）
（5）式就是任意完全图的亏格n与其顶为数v的关系。由于图的亏格一定是整数，所以，还得对（5）式向上进行取整，得
        n≥［（v―3）（v―4）/12］（v≥3）                （6）
（6）式中的［ ］表示其中的数字向上取整。
    3、任意完全图的顶点数与其亏格的关系
把公式（4）中的顶点数v作为未知数时，解这个一元二次不等式，得其正根是
v≤（7＋√（1＋48n））/2                        （7）
（7）式就是任间完全图的顶点数v与其亏格n的关系。由于图的顶点数也一定是整数，所以（5）式还得向下取整得
v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞                    （8）
（8）式中用＜ ＞代替向下取整的符号。这就是不同亏格的图中各种完全图的顶点数，也是不同亏格的图的最小完全同态的顶点数。
    4、赫渥特的地图着色公式
由于完全图的色数就等于其顶点数，把式中顶点数v换成色数γ，就成了多阶曲面上图的色数公式
γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞                   （9）
（9）式也就是赫渥特地图着色公式。看来这个公式（9）是没有任何限制条件的，不知为什么专家们硬要给其后面增加一个附加条件（n＞0）呢。
不知他们增加的这个附加条件的目的是什么，是不是就是为了说明赫渥特的地图着色公式不适用于亏格为0的平面图呢。以前不知该公式是怎么得来的，加一个附加条件还是情有可原的；而现在该公式已能直接推导出来，本来就没有任何条件，为什么还非得要把原来不合理的条件保留下来呢。
6、四色猜测的证明
从上面的公式（1）和公式（5）（6）可以看出，其中对图的亏格n都是没有任何限制的，只有条件（v≥3）。当v＝3和v＝4时，图一定是平面图，用公式（6）计算的结果也是亏格n＝0。而且也直接可以从公式（5）推导出公式（8）或（9）。因此，公式（8）或（9）对于亏格为0的平面图也一定是适用的。式中当n＝0时，有γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞＝4。这就是四色猜测，四色猜测是正确的。

雷  明
二○一六年九月五日于长安

注：此文已于二○一六年九月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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