请讨论：无尽循环小数是不是有理数。

jzkyllcjl

讨论题：无尽循环小数是不是有理数。
为具体起见，首先考察无尽循环小数  是不是有理数。这时，可能有人会说：根据0.333……=1/3 ，得无尽小数是有理数。但是，这里的三段论小前提0.333……=1/3 是有问题的，是需要认真地、反复的、结合生产实践与 研究实践进行辩证分析的问题。首先需要探讨一下这个无尽小数是怎么提出来的？众所周知：它与除法运算（1被3除）有关系。过去的人们认为：除到无穷时，就得到等式1/3=0.3333…… 了，其中无尽小数 是个有确定大小的定数。其实，这种说法有问题，问题在于它是没有经过认真的、反复的、辩证的分析的，肤浅的直觉性的认识。事实上，无穷是无有穷尽、无有终了的意思，人们无法除到无穷。这个除法运算是永远除不尽的工作，为了吃饭，为了活着，人们必须停止这个无休止的无有实际用处的工作。但需要分析一下这个问题，找到有益的结论。这时可以得到：不论在什么时候停止这个运算，人们得到的都只是有n个3的有尽位小数0.333……3；这个有尽小数是分数1/3的近似值。至于无尽小数 ，它是永远写不到底的事物，它不是有确定大小的定数，它不能等于有确定大小的分数1/3。
对这个问题，笔者曾经根据文献[3]80页例三的使用代数方程的作法，先设无尽小数等于定数 λ，得等式 λ=0.333……后，两端乘10，得到等式
    10λ=3+0.333……      （L）
记这个等式右端的0.333……也是λ。于是得等式
        10λ=3+λ            （M）
解等式（M）就得 λ=1/3=0.333……。但是认真分析一下，这个代数方程的解体过程有问题：第一，这个无尽循环小数本来不是定数，不能把它看作定数使用代数方程去求解（因为：代数方程中未知数必须是定数）；第二，当把这个无尽小数看作定数时，0.333……中的3的个数必须是定数，这时等式（L）右端的0.333……中的3的个数比原来的0.333…… 中的3的个数少一个。所以等式（M）右端的λ比左端的λ小，两个λ不一样，这种解题方法违反形式逻辑中的同一律，这个代数方程的结论是错误的。同理，文献[3]80页例三的结论——纯无尽循环小数可以转化为分数（即等于分数，等于有理数）[3]的结论不成立。怎么办呢? 实践是理论的基础，必须承认实践的结果，不能把这个无尽小数看作定数，也不能提出等式1/3=0.333…… 。 。过去的数学教科书中的“无尽循环小数0.333……是有理数”的论述是无有确实根据的，应当取消的等式。至于这个无尽小数是什么的问题，需要从实践与应用出发进一步探讨、研究。
求不到绝对准等于1/3的有尽小数，而无尽小数又写不到底时，可以使用近似方法。首先，从运算的第一步可以得到不等式：0.3<1/3<0.4. 这个不等式说明： 用0.3表示分数1/3 的误差不超过1/10；同理说明：用0.4 分数1/3 时的误差不超过1/10。故称1/10为使用0.3、0.4 表示1/3时的误差界，0.3、0.4 分别叫做满足这个误差界的不足近似值与过剩近似值。除法的第二步得分数1/3的满足误差界1／１０＾２ 的不足近似值0.33，过剩近似值0.34。将一元钱分给三个人，两人得0.33元，一人得0.34元就行了，要尊重实践中有效的、有用的方法，不要做无用的斤斤计较的工作。这是应当有的第一个认识。但是，在其它问题研究中，还需要计算1/3的更精确地近似值（例如有的研究需要1/3米是多少微米，一微米等于1/1000000米）。为此，需要提出针对误差界序列１／１０＾ｎ 的1/3的近似值数列。推广前边的计算，可以得到满足这个误差界序列的1/3不足近似值数列0.3，0.33，0.333，……与过剩近似值数列0.4，0.34，0.334，……。前一个无穷数列可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，虽然它的每一位都是3，但要知道：这个无尽循环小数是无穷数列的简写，它不是个定数，而是无穷数列性质的变数。使用无穷数列的方法可以得到满足任意小误差界的足够准近似值。例如：上述第一个数列中的第5项0.33333，满足不等式 1/3-0.33333=1/300000<1/100000=1/10^5，0.33333是误差小于1/10^5的、即满足误差界1/10^5 的近似值。一般地，取上述第一个数列的第n项， 就得到误差小于1/10^n的近似值。所以这个无穷数列有好处。为书写方便起见，可以把这个数列简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，但须注意：它不是个定数，而是1/3的一个针对误差界序列1/10^n的不足近似值的无穷数列的简写；这个数列的趋向是1/3，从这个无穷数列中可以找到分数1/3的、满足任意小误差界的近似值，可以提出全能近似等式1/3~0.333……={0.3，0.33，0.333，……}，也可以提出全能近似等式 1/3~ {0.4, 0.34, 0.334, 0.3334, ……}。从这种全能近似等式中可以得到满足任意小误差界的分数1/3的足够准近似值。但这两个数列都不等于1/3。 总之，无尽小数是写不到底的事物，只有把它看作无穷数列时才有意义，才有用处，等式1/3=0.333……具有虚构性。
上边谈到三个无穷数列。第一个无穷数列 随着项数n的无限增大，而无限接近于0，下文将称0是这个数列的极限。第二个无穷数列0.3，0.33，0.333，……与第三个无穷数列0.4，0.34，0.334，……都是随着项数n的无限增大，而无限接近于1/3的数列，下文将称1/3是这两个数列的极限。上述计算分数1/3 越来越精确的近似值的方法，可以说是古代就有的逐次逼近方法，我们应当尊重并使用这个方法，而不能盲目的追求绝对准。
练习题：求1/6, 1/7, 1/11, 1/13, 200000/163843的有尽小数表达式。

xfhaoym

LZ说呢？写的太长没时间看。

jzkyllcjl

xfhaoym 发表于 2016-9-20 05:01
LZ说呢？写的太长没时间看。

一千多字，你嫌长。那你还能研究解决数学难题吗？！

elim

jzkyllcjl 不识数，这种帖子叫作哪壶不开提哪壶。

天山草

楼主是不承认 “小数循环节” 的理论吧？也就是根本就不认可下式：

jzkyllcjl

天山草 发表于 2016-9-21 01:19
楼主是不承认 “小数循环节” 的理论吧？也就是根本就不认可下式：

你的这个帖子，贴出过。我给过你回复，但你没有回帖。 现在再给你回复如下：
0后边写个小数点，点后边写个3，3上边加个点 的符号表示的是无尽小数。 无尽小数是写不到底的事物，写不到底的事物不能等于1/3. 我在主贴已经讲了道理。你没有看。 仅就这个无尽循环小数的 符号来讲，它是无用的、无有意义的。 它的使用意义是分数1/3的近似值数列0.3，0.33，0.333，……的简写，只有从这个数列中才可以找出它的实用意义。  

elim

老头一吃狗屎，就会说无穷个3写不到底，然后继续吃他的狗屎。但这种作法与数学毫不相干，证明不了无尽小数是变数，只证明他写了几个不同的有限小数。

jzkyllcjl

elim 发表于 2016-9-21 11:02
老头一吃狗屎，就会说无穷个3写不到底，然后继续吃他的狗屎。但这种作法与数学毫不相干，证明不了无尽小数 ...

你搞不清无尽小数0.333……的意义， 也说不清这个无尽小数中 有多少个3， 你写不到底这个无尽小数中的3 。