佩尔方程的解集通式

费尔马1

佩尔方程x^2-2y^2=±1是两个不定方程：x^2-2y^2=1与x^2-2y^2=-1。

x^2-2y^2=1的解集是：x=2k+1，y=√[2k（k+1）]

x^2-2y^2=-1的解集是：x=2k+1，y=√[k^2+（k+1）^2]
k为正整数
注：y等于根下[2k（k+1）]；
y等于根下[k^2+（k+1）^2]

费尔马1

修改一下，佩尔方程解集中k的取值范围应是自然数，因为k可以等于0

费尔马1

修改一下，佩尔方程解集中k的取值范围应是全体整数，因为k可以等于0或负整数。

费尔马1

关于佩尔方程每个方程只存在一组正整数解。
不定方程：x^2-2y^2=1只有一组整数解，x=3，y=2。证明：当k大于1时，k与k+1互质，k+1≠2k，2（k+1）≠k，开方不尽，故y无整数解；
不定方程：x^2-2y^2=-1只有一组整数解，x=7，y=5。证明：以为勾股数中只存在一组形如k^2+（k+1）^2=c^2,即3^2+4^2=5^2别无第二组。

费尔马1

还是不对啊！在方程x^2-2y^2=1中，又找出一组整数解，x=17，y=12。（k=8）
看来方程x^2-2y^2=-1也还有其它组整数解，
请大家再研究研究。大家可用电子表格或编程，根据我的y的根下解，搜索这两个方程的正整数解？然后再寻找正确的通式。

费尔马1

蔡老师是否能够找到通解呢？