（5,5）不能代替5—轮构形的证明 ——兼论（5，5）也是不可约的

雷明85639720

（5,5）不能代替5—轮构形的证明
——兼论（5，5）也是不可约的
雷  明
（二○一六年九月二十四日）

由于赫渥特图的出现，人们在不能对该图4—着色和证明有相交叉两条连通链的5—轮构形是否可约的情况下（这种情况已成为历史，现在赫渥特图已经是可4—着色的，赫渥特图型的构形也可以证明是可约的），1904年Wernicke提出了用（5，5）和（5，6）代替坎泊的5—轮构形，来回避不能证明5—轮构形可约性的矛盾。（5，5）能不能代替5—轮构形，我们可以这样进行分析：如果在对（5，5）“构形”着色时，可以避免赫渥特图型的5—轮构形出现，就说明（5，5）能代替5—轮构形，否则它就不可能代替5—轮构形。

赫渥特图型的5—轮构形如图1所示，图中有两条连通链A—C和A—D，两链在中途相交叉一次。（5，5）图形如图2所示，图中有围栏顶点6个（1，2，3，4，5，6），待着色顶点两个（7和8）。从王树禾的《图论》书中看，（5，5）构形也并没有严格要求其围栏顶点一定要占用完四种颜色。
现在我们看看各种情况下的（5，5）进行着色时，是不是可以避免渥特图型的5—轮构形出现。（5，5）构形着色时，一定是先给其中的一个待着色顶点着上颜色后，才给第二个待着色顶点着色，这时实际上还是在给5—轮构形进行着色。
1、用A，B，C，D表示四种颜色，按（5，5）围栏顶点的顺序表示围栏顶点所占用的颜色，即王树禾所说的“色分布”，则图3，a中的（5，5）围栏顶点的色分布，可表示成ABABAB（以下同）。围攻栏只用了两种颜色，待着色顶点7只与A，B两种颜色的顶点相邻，可给其着上第三种颜色C（如图3，b），剩待着色顶点8，是一个5—轮构形，该顶点只与A，B，C三种颜色的顶点相邻，把第四种颜色D给其着上即可（如图3，c）。


2、ABABCB型（如图4，a），给顶点7着上C（如图4，b），顶点8也只与A，B，C三种颜色相邻，给8着上D即可（如图4，c）。
3、ABABAC型（如图5，a），给7着上C，（如图5，b），8着D（如图5，c）。
4、ABABCD型（如图6，a），给7着上C，（如图6，b），以8为中心的5—轮中有一条连通的A—B链，给8着D（如图6，c）或B（如图6，d）。



5、ABABDC型（如图7，a），给7着上C，（如图7，b），以8为中心的5—轮中有一条连通的A—B链，给8着D（如图7，c）或A（如图7，d）。
6、ABCABC型（如图8，a），给7着上D（如图8，b），以8为中心的5—轮中有可能会不可避免的出现一条连通的D—B链和一条连通的D—C链相交叉的情况，这就是一个赫渥特图型的5—轮构形（如图8，c）。

到此，已经说明了（5，5）着色时是不可能避免赫渥特图型5—轮构形出现的，这就说明（5，5）是不能代替5—轮构形的。
7、从现在的观点看，赫渥特图型的5—轮构形能证明是可约的，赫渥特图也是可4—着色的。不知为什么阿贝尔在其《四色地图问题的解决》一文中却“证明”了（5，5）是不可约的（王树禾的《图论》书中也有这样的结论）。即然（5，5）不可约，为什么还要用它不带替5—轮构形呢，用它代替5—轮构形，能够证明5—构形特别是赫渥特图型的5—轮构形是可约的吗。
8、因此，我一直认为，坎泊证明了的平面图的不可免集是正确的，要证明5—轮构形是否可约，还必须直接从5—轮入手。5—轮是平面图的不可免构形，是不能用别的什么去代替的。
9、赫渥特图型（5，5）的4—着色：
图8，c的（5，5）中有两条连通的D—C链和D—B链，两链在图最下方着色为D的顶点处相交叉，不能移去B，C，D三色之一；如果图中再含有3C到5B的C—B链和2B到6C的B—C链时，也就不可能同时移去两个同色A，就与赫渥特图具有了同样的特征（如图9，a）。但我们可以想办法从着色为D的、两链交叉顶点进行进行D—A链的交换（如图9，b，实际上就是把交叉顶点的D换成了A），这样图中也就不再含有任何连通链了，可以随便再进行一次交换，即可空出B，C，D三种颜色之一，给待着色顶点8着上（如图9，c）。

10、可以看出，图9，a就是赫渥特图简化成的“九点形”图，就是雷明与张彧典称为H—构形的图（即张先生的第二个构形），而图8，c则是张先生称之为“坎泊黑洞”构形的最小模型（即张先生《探秘》书中的图2.7）。当在图8，c中增加1A和4A分别到两链交叉顶点D的A—D链时，这就是雷明所说的可同时移去两个同色（这里是A）的坎泊构形（如图10，a）；当在图8，c中增加1A到两链交叉顶点D的A—D链和3C到5B的C—B链，或者增加4A到两链交叉顶点D的A—D链和2B到6C的B—C链时，这就是雷明所说的可选择先后交换次序的交换关于两个同色（这里也是A）的链，也可同时移去两个同色的坎泊构形，也就是张先生的第一个构形和第三个构形（如图10，b和图10，c）。

11、至现在，不但说明了（5，5）不能代替5—轮构形，又说明了赫渥特图型的（5，5）是可约的，应该说本文的证明就应该结束了。但是（5，5）还有一种色分布ABCACB还没有证明是否可约，所以还要再进一步证明。
ABCACB型的（5，5）如图11，a，给7着上D（如图11，b），以8为中心的5—轮不可能有两条相交叉的连通链，最多只可能是两条不相交叉的连通链（如图11，c），是一个可以同进移去两个同色A的坎泊构形，给8着A（如图11，d）。

10、四色猜测是正确的：
1879年坎泊已证明了2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形和一部分5—轮构形是可约的，1992年雷明，董德周，许寿椿等，还有英国的米勒等，以及2010年张彧典，郑敏，刘福等，都对赫渥特的图进行了4—着色；1992年雷明，敢峰，张彧典等，都对具有赫渥特图型的5—轮构形进行了证明，是可约的。1992年敢峰证明了敢峰—米勒图是可约的，2010年雷明，张彧典也都证明了敢峰—米勒图是可约的。可以说至此，坎泊所证明了的平面图的不可免集中的所有不可免构形都已被证明是可约的了，那么四色猜测也就得到了证明是正确的。

雷  明
二○一六年九月二十四日于长安
注：此文已于二○一六年九月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：
   


   

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