“王树禾构形”的可约性研究

雷明85639720

“王树禾构形”的可约性研究
雷  明
（二○一六年九月二十四日）

1904年Wernicke提出了用（5，5）和（5，6）代替坎泊5—轮构形以来，人们在对四色猜测的证明中就去寻找所谓的“可约构形的不可免集”（这是阿贝尔《四色地图问题的解决》一文中使用的术语）。
在王树禾的《图论》一书中，对构形的定义是这样说的：“平面三解剖分的某个圈中的顶导出子图称为一个构形（configuration），包围此构形的圈称为围栏，围栏上的顶点数称为围栏长。”我们把这种构形就暂叫“王树禾构形”吧。
可见，王树禾构形把坎泊构形中围栏的长由不大于5，把待着色顶点数由只有1个，都扩大到了可以是任意多的。这样一个构形也就相当于是一个任意的图。在这个图中，围栏圈把这个任意的图从中分成了两半，相当于在地球上，赤道线或任一条经线把地球分成了两半一样。其中一半全部着了色（包括围栏圈），另一部分则未着色（全为待着色顶点）。
我们知道圈的色数是不会大于3的，但这个着了色的，且符合着色要求（没有相邻顶点着同一颜色）的半个图中，围栏顶点只占用三种颜色是否就够了呢。可以证明是够用了。
一、王树禾构形的围栏圈三种颜色就够用了：
在一个着了三种颜色的围栏圈外，增加一个顶点，这个顶点一定得用第四种颜色，这是不言而喻的。这时的图就是一个轮，也就证明了任何轮的轮沿顶点最多只占用三种颜色，轮中心占一种颜色，所以任何轮最多也只用四种颜色就够了。
轮内的面全是三角形面：
1、若在一个面内增加一个顶点，并使该顶点与该三角形面的各顶点用边相邻，该顶点可以着上与其相邻的三个顶点不相同的第四种颜色；
2、若增加的顶点在一条边上时，这时所增加的顶点最多只可能与四个顶点相邻：这时
㈠　当与其相邻的四个顶点只占用了三种或两种颜色时，增加的顶点着上图中已用过的四种颜色之一是没有问题的；
㈡　当与其相邻的四个顶点占用完了四种颜色时：
①　在没有连通链的情况下，那么总可以交换最外圈中已用过的两种颜色的色链，就可以保证最外圈所用颜色数仍是3；
②　在有连通链时：若连通链中含有最外圈未用过的颜色，那么，交换非连通链（最外圈一定含有这两种颜色），是不会对最外圈所用的颜色数有影响的，仍然是3；若连通链中不含有最外圈未用过的颜色，即连通链中的两种颜色都是最外圈中已用过的颜色，那么，从连通链外的另一个在最外圈中已用过的颜色的顶点开始，交换非连通链，即交换该顶点颜色与最外圈示使用的那种颜色组成的色链，则是一定也不会对最外圈所用的颜色数有所影响的，仍然是3。
这就证明了王树禾构形的围栏圈最多只用三种颜色就够了。这个围栏圈与其外面其他所有已着色顶点所构成的图，也是一个可4—着色的图。
二、王树禾构形的所有待着色顶点一定是4—可着色的：
可以想象，若把围栏圈外的顶点全部去掉，实际上围栏圈与所有待着色顶点构成的图，与我们以上证明的围栏圈及其以外的顶点构成的图是相同的，都是只有一个面是任意多边形，而其他所有面都是三角形面的图（或构形）。在“一、”中我们已经证明了王树禾构形的围栏圈及其以外的所有顶点构成的图是一个可4—着色的图，那么由围栏圈及其以内的所有待着色顶点构形的图也一定是一个可4—着色的图，而围栏圈仍然只用了三种颜色的。那么，这两个图的“并”，即王树禾构形也一定是一个可4—着色的图。所有的待着色顶所占用的颜色也是不会大于4的。
三、四色猜测的证明：
归纳以上两点，我们可以得到，任何一个王树禾构形都是可4—着色的，即都是可约的。实际上，王树禾构形就是一个任意的图，所以四色猜测也就得到证明是正确的。

雷  明
二○一六年九月二十六日于长安

注：此文已于二○一六年九月二十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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