不定方程1^2+2^2+...+n^2=m^2的一种解法

kdyeung

不定方程1^2+2^2+...+n^2=m^2即金字塔数等于平方数问题,下面给出它的一种解法,如有谬误请各位大侠指正.
原方程即n(n+1)(2n+1)/6=m^2,或n(n+1)(2n+1)=6m^2          (1)
显然n=m=1是原方程的一组解,下面考虑m>n>1的情况.
因n+1-n=1,2n+1-2*n=1,2*(n+1)-2n-1=1,故n,n+1,2n+1两两互质,故n,n+1,2n+1必形如6k^2或3k^2或2k^2或k^2(易知k>1),下面分别讨论2n+1和n+1:
a)由于2n+1为奇数,故2n+1=3k^2或k^2
     假设2n+1=3k^2 (k>1),由(1)式及上述可设n=2s^2或n+1=2s^2(s>1)
           当n=2s^2时,则有2*2s^2+1=3k^2,即(2s)^2=3k^2-1,但形如3h-1的正整数不可能为平方数,故假设错误.
           当n+1=2s^2时,则有2*(2s^2-1)+1=3k^2,即4*s^2-1=3k^2,即(2s+1)(2s-1)=3k^2,由于2s+1,2s-1均为奇数且
             2s+1-(2s-1)=2,故2s+1与2s-1互质.所以有2s+1=3k^2, 2s-1=1或2s+1=k^2, 2s-1=3,解得s=k=1或s=2,k=3^0.5,
            但k为大于1的正整数,故假设错误.
    所以2n+1必形如k^2.
b)由上知n+1=6k^2或3k^2或2k^2或k^2
     i)假设n+1=6k^2 (k>1),由(1)式及上述可设n=t^2,则有t^2+1=6k^2,即t^2=3*2k^2-1,但形如3h-1的正整数不可能为平方       数,故假设错误.
     ii)假设n+1=3k^2 (k>1),由(1)式及2n+1为奇数可设n=2t^2,2n+1=s^2,由于2n+1=n+(n+1)故有s^2=2t^2+3k^2,假设方程       有解且最小正整数解为s0,t0,k0,则有
                                      s0^2=2*t0^2+3*k0^2                          (2)
       即s0^2+t0^2=3*(t0^2+k0^2),即3|(s0^2+t0^2),从而易知3|s0,3|t0,所以9|s0^2,9|2t0^2,因       而9|3k0^2,3|k0,又(s0/3)^2=2*(t0/3)^2+3*(k0/3)^2,故s0/3,t0/3,k0/3也是(2)的解,而已知最小正整数解为s0,t0,k0,故
      假设错误,(2)式无解.
    iii)假设n+1=2k^2 (k>1),由a)可设2n+1=s^2,则有2*(2k^2-1)+1=s^2,即4k^2-1=s^2,但任何平方数均形如4h或4h+1,故        假设错误.
所以n+1必形如k^2.
由上述讨论我们可设n=6k^2,n+1=u^2,2n+1=v^2,即
                                  1+6k^2=u^2
                                  1+12k^2=v^2
令c=uv,则有c^2=(1+6k^2)*(1+12k^2)=(1+9k^2)^2-(3k^2)^2,即
                                      (1+9k^2)^2=c^2+(3k^2)^2                   (3)
  由于1+9k^2-3*3k^2=1,故1+9k^2与3k^2互质,由勾股定理(x^2+y^2=z^2)的通解公式知
                        1+9k^2=a^2+b^2  ,  c=2ab  ,  3k^2=a^2-b^2    (4)
                 或   1+9k^2=a^2+b^2  ,  c=a^2-b^2  ,  3k^2=2ab    (5)
         其中a,b为正整数,(a,b)=1,a和b一奇一偶.
   当(4)成立时,则1+9k^2+3k^2=a^2+b^2+a^2-b^2,即1+12k^2=2a^2,此式左边为奇数右边为偶数,此时(3)式无解.
   当(5)成立时,则由 3k^2=2ab  知k为偶数,设k=2*k1,k1为正整数,代入(5)有
                                     1+36k1^2=a^2+b^2                               (6)
                                           6k1^2=ab                                         (7)
      由于a和b一奇一偶,不妨假定a为偶数,因(a,b)=1,由(7)知a,b的取值只有以下几种情况:
  i)a=6,b=k1^2,代入(6)式有
             1+36k1^2=36+k1^4,当k1>=6时等式右边恒大于左边,当k1=1,2,3,4,5时容易验证k1=1时等式成立,此时
        (3)式有解 k=2*k1=1,c=a^2-b^2=35
ii)a=2,b=3k1^2,代入(6)式有
             1+36k1^2=4+9k1^4,当k1>=2时等式右边恒大于左边且k1=1时容易验证等式不成立,此时(3)式无解.
iii)a=6k1^2,b=1,代入(6)式有
             1+36k1^2=36k1^4+1,解得k1=1,此时 (3)式有解 k=2*k1=1,c=a^2-b^2=35
iv)a=2k1^2,b=3,代入(6)式有
             1+36k1^2=4k1^4+9,当k1>=3时等式右边恒大于左边且k1=1,2时容易验证等式不成立,此时(3)式无解.
   所以(3)式有唯一解k=2,c=35,此时原方程的解为n=6k^2=24,m=n(n+1)(2n+1)/6=70
  所以原方程的全部解为m=n=1和m=70,n=24.

孤星赶月

这也叫新解法吗，我早在中学时都用过了

pantum

这个问题没必要作深入讨论，因为它只有两组解，所以可以有其他解法，你可以用组合数学来解，即把等式两边都化成组合数（或混合式），但过程也不是很简单。

郭经理1

dingdingdingdingdingdingdingdingdingding

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2012/04/21 06:23am 第 8 次编辑]

任在深

好解！好解！！大大的好解！！！

李金国

下面引用由wangyangkee在 2011/11/14 10:06pm 发表的内容：
你能看得懂？

2b 人

任在深

一刀哥俩口？

尚九天

望羊客午时无事不去舞狮，肚子饿了就吃羊屎，非误食屎，乃时时食屎！

任在深

下面引用由wangyangkee在 2011/11/15 08:42am 发表的内容：
郭经理1====郭经理=== kdyeung ===== 李金国==jingl=====≠wangyangkee？

                2X²-Y²+1=0
                1³+2³=3²
                          哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈！！！！！！！！！！