a,b 为整数，若对任意的正整数 n ，都有 a^n-1|b^n-1 ，证明存在整数 k ，使得 b=a^k

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知a,b为整数，若对任意的正整数n，都有a^n-1|b^n-1，证明存在整数k，使得 b=a^k.

195912

题：已知a,b为整数，若对任意的正整数n，都有a^n-1|b^n-1，证明存在整数k，使得 b=a^k.

证明：因为，对任意的正整数n，都有
            a^n-1|b^n-1 , 其中，a,b为整数，
所以，存在整数m，使得
            b^n-1=(a^n-1)m，
显然，存在整数K，使得
             m=(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1,
即,存在整数K，使得
              b^n-1=(a^n-1)[(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1]
                      =(a^k)^n-1
所以，
               b=a^k 。

luyuanhong

谢谢楼上 195912 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj

195912 发表于 2016-10-15 06:43
题：已知a,b为整数，若对任意的正整数n，都有a^n-1|b^n-1，证明存在整数k，使得 b=a^k.

证明：因为，对 ...

“显然，存在整数K，使得
             m=(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1,”

这一步有什么定理保证？如果没有，这就有循环论证的嫌疑。
这个证明有一个任意整数n的条件没有用上，应该是一个不正确的证明。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的质疑很有道理！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

195912

ccmmjj先生:
        “显然，存在整数K，使得
             m=(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1,”
这里是因为a，k为整数，n为正整数，那么k个整数的和
              (a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1
一定是一个整数，也就是说
             m=(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1
是方程
              b^n-1=(a^n-1)m
的一个整数解，这里方程的整数解不唯一。

195912

ccmmjj先生:
         感谢先生的批评,对原题特更正如下:
题：已知a,b为整数，若对任意的正整数n，都有a^n-1|b^n-1，证明存在整数k，使得 b=a^k.

证明：因为，a,b为整数，设
               b=a^k，
根据n次方差公式，由
             b^n-1 =(a^k)^n-1=(a^n)^K-1,其中n为正整数，
得
               b^n-1 =(a^n-1)[(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1],   (1)
令
                 m=(a^n)^(k-1)+(a^n)^(k-2)+...+a^n+1
代入(1)式得
                  b^n-1 =(a^n-1)m,     (2)  
由(2)式，根据整除的定义，有
           a^n-1|b^n-1 。
所以，命题为真命题。

               。