[注意]谈谈连乘积和哈代_李特伍德将奇数表成三个素数之和的式子的关系

大傻8888888

网上的朋友很多都知道用连乘积表示n以内素数的个数如下：
我在“谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系”的帖子里用大家熟悉的连乘积经过自己长时间独立思考证明了哈代_李特伍德关于孪生素数（当然这里的素数和本帖里面所有的素数都是奇素数）公式和关于偶数所含素数对个数的公式是正确的。并且解释了拉曼纽扬系数的由来，解开了蒙在拉曼纽扬系数上的神秘面纱。当这个帖子在网上贴出后，有网友认为青岛王新宇也有类似的看法，经查看相应的帖子王新宇确实也接触到了这个问题，但是表述的式子很不清楚，证明的过程条理欠顺，不如我的帖子一目了然。有兴趣的网友可以把我们两人的帖子对比一下就知道了。
  为了把这一问题更深一步。这一段时间我集中了时间和精力考虑哈代_李特伍德关于将奇数表成三个素数之和的公式和连乘积的关系，现在基本上已经解决，解决思路如下：
  首先想解决奇数表为三个素数之和，可以这样思考用奇数减去某一个小于这个奇数的素数得出一个偶数，而这个偶数可以用哈代_李特伍德关于偶数所含素数对个数的公式求出一组数据，重复这样的步骤，把所有的数据加起来就可求出奇数表为三个素数之和的数值。而奇数减去某一个小于这个奇数的素数会发生什么情况呢?如果这个奇数N不是小于等于√N的素数的倍数时，N减去素数p后的偶数必有1/（p-1）几率的偶数是p的倍数。以p=3为例，这个奇数既然不是3的倍数，那么这个奇数只能表为3k+1和3k+2这两种形式，而小于这个奇数的素数也只能表为3m+1和3m+2这两种形式。当奇数为3k+1时，这个奇数减去素数时只能得出3（k+m）和3（k+m)-1这两种形式，可以看出3的倍数占了偶数总数的1/（p-1）=1/（3-1）=1/2，同理当奇数为3k+2时，结果是一样的。以此类推N减去素数p后的偶数必有1/（p-1）几率的偶数是p的倍数。
   另一方面如果这个奇数是某一个素数的倍数，则它减去所有小于这个奇数的素数剩下的偶数中，只有一个偶数是这个奇数的倍数，而其余的偶数都不会是这个奇数的倍数，具体证明类似上面的证明。这一个偶数随着奇数的逐渐增大，就可以忽略不计，这就可以认为奇数减去所有小于这个奇数的素数，剩下的偶数系列没有这个素数的倍数。
   通过以上分析我们来看看奇数表为三个素数之和前面的调节系数Π（1-1/(p-1)^2）是如何得来的。我们设奇数N不是所有小于√N素数的倍数，它表为三个素数之和的值为x。这时如果有一个接近N的的奇数是某一个素数的倍数，则这个奇数表为三个素数之和的值就会发生变化，我们知道x里面有1/（p-1）的偶数由p的倍数成为不是p的倍数，另外有（1-1/(p-1)）不变，所以1/（p-1）应该乘以(p-1)/(p-2)的倒数(p-2)/(p-1)加以调节，那么这一个接近N的的奇数的值应该是(p-2)/(p-1)*（1/(p-1)）x+（1-1/(p-1)）x=（1-1/(p-1)^2）x。以此类推即可得出调节系数Π（1-1/(p-1)^2），这就是我们熟悉的拉曼纽扬系数。这个方法是不是很简单，很奇妙，很有趣。
   下面再谈谈奇数表为三个素数之和后面的Π（1+1/(p-1)^3）的来历，当奇数N不是所有小于√N素数的倍数时，则它减去所有小于这个奇数的素数剩下的偶数系列中有1/（p-1）的偶数是p的倍数，根据以前的讨论1/（p-1）前面应该加上(p-1)/(p-2)加以调节，有（1-1/(p-1)）不是p的倍数，这两项的和为(p-1)/(p-2)*（1/(p-1)）+（1-1/(p-1)）=(p^2-3p+3)/(p-1)(p-2),这个值乘以拉曼纽扬系数，即(p^2-3p+3)/(p-1)(p-2)*（1-1/(p-1)^2）=（1+1/(p-1)^3），以此类推则得出Π（1+1/(p-1)^3）。
   最后一项应该为N/ln(n)*N[1/ln(n)]^2=N^2[1/ln(n)]^3
   不知广大网友是否知道还有别的网友得出类似的结果，如果没有的话，这次就是我的独创了。
  再回过头来看看常数项，在将偶数表为两个素数之和里这个常数项等于2，不过3+5和5+3是作为两对计算的，按一对计算则常数项为1。我们前面计算是假设奇数减去所有小于这个奇数的素数剩下的偶数的值接近N，而实际上减去的素数越大偶数的值就越小，这样计算时就应该乘以1/2。这就是常数项的值为1/2的原因。由此可知15这个奇数按公式计算应该有三种组成形式3、5、7，5、3、7，7、3、5。如果把这三种算成一种，则常数项应该为1/3!=1/6。
   上面这个帖子发表于2010/01/12 02:11pm，我觉得这个帖子比较重要，原帖漏了几个数字1， 这次加以更正。望广大网友批评指正！