研究四色问题必须首先对赫渥特图进行4—着色

雷明85639720

研究四色问题必须首先对赫渥特图进行4—着色
雷  明
（二○一六年十月十三日）

我为什么现在要提出这个问题呢，是因为有人既不能对赫渥特图进行4—着色，却又说赫渥特图不是不能4—着色，而却在反对别人对赫渥特图能否4—着色进行研究。
1、研究赫渥特图的4—着色的重要性
既然赫渥特用这个图否定了坎泊的证明，那么就必须首先看该图是否能进行4—着色。若赫渥特图能进行4—着色，只能说明说明赫渥特是找出了坎泊证明中的漏洞，或者说找出了坎泊证明中遗漏了的那一种构形，还没有得到证明是否可约，而不能说明赫渥特是对四色猜测的否定；若又能在赫渥特着色的基础上，仍用坎泊的颜色交换技术对该图进行4—着色，也就说明了坎泊的方法——颜色交换技术——是正确的；基于以上两点，就有必要研究四色猜测的证明问题；若赫渥特图不能够进行4—着色，就说明了赫渥特图真是四色猜测的一个反例，那就说明了赫渥特已经是否定了四色猜测的正确性，也是一个肯定的结论，我们也就没有必要再对其进行证明了。怎么能说没有必要研究赫渥特图的4—着色呢。
事实上，自从一八九○年赫渥特用他的图否定了坎泊的证明以来，直到二○○八年许寿椿教授的《图说四色问题》一书出版之前的一百多年里，的确是没有人能对赫渥特图进行过4—着色，也没有人说赫渥特图就不可能4—着色，任何文献资料中是找不到一个有关该图的4—着色模式。难怪许教授在其书中说：“希伍德反例、塔特反例及塔特反例类型图，都是用来揭示肯普和泰特证明中的错误。这些图有没有四着色、有多少四着色、有怎样的四着色等等，长期以来一直见不到有什么肯体结果发表。一个不可否认的明显的事实是：至今为止，在大量的论文和专著中，我们很难看到非平凡的着了四色的例图。至于给出图的全部四着色，那就更不用说了。”许教授的这一段话，就真实的反映了一百多年来，一直没有关于赫渥特图是否是可4—着色的消息。
对于赫渥特图的4—着色问题，不能把它只看成是对一个任意图去进行4—着色，而要看成一个特殊的图进行4—着色。因为它是否定了坎泊的证明方法的图，必须认真对待，且必须是在赫渥特原着色基础上进行。通过对其4—着色，要能说清楚赫渥特为什么对他的图不能4—着色，而自已却又为什么能够对其进行4—着色。从而找出解决象具有赫渥特图一类着色结构的构形可约性的办法。这样才能更有说服力。否则赫渥特否定坎泊证明方法的原因仍然是不会找到的。
可以说，赫渥特否定坎泊的证明是错误的，因为他违反了坎泊颜色交换技术的使用原则。颜色交换技术的交换原则是交换的色链是不连通的，才能空出颜色给待着色顶点，构形可约；而赫渥特却交换了连通的链，当然是空不出产色来的。但他却不说该构形不可约，也不说四色猜测不正确，而却是说坎泊的证明方法有问题。我们对赫渥特图的4—着色，仍然是在赫渥特原着色的基础上用了坎泊的颜色交换技术而进行的。并从中找到了象对具的赫渥特图着色结构的一类图的着色方法——断链法。
    2、赫渥特图的4—着色
我得到赫渥特图后，利用了一切业余休息时间，用了半年的时间，对其进行了4—着色。并在一九九二年的陕西省数学会第七次代表大会暨学术年会上作了学术论文报告，得到了好评。但我并不认为对赫渥特图进行了4—着色，就说明对四色猜测进行了证明，说明是正确的。因为赫渥特图必竟只是一个个别的图，不能代表一般。所以我在会上当时就提出了对四色猜测的证明，要走不画图不着色的道路，有一些专家也同意我的这一观点。我认为，我通过多年的研究，现在已经实现了这一步。

现在对赫渥特图分折如下：赫渥特图如图1所示，留下其中的关键顶点后的简化图——“九点形”图如图2所示（见后面）。
赫渥特图是一个只剩下一个顶点未着色的图，其他顶点都已着了b、r、g、y四种颜色之一种，符合相邻顶点不用同一颜色的要求。这个未着色顶点就位于一个5—轮的中心顶点，与该顶点相邻的5个轮沿顶点已点用了完了四种颜色，待着色顶点V该着什么颜色，怎么去着上呢。
当年赫渥特与坎泊都不能给赫渥特图中详情色顶点着上图中已用过的四种颜色之一，所以就对坎泊的证明进行否定。但赫渥特却用坎泊创造的方法——颜色交换技术，证明了所谓的“五色定理”。
赫渥特图中有两条连通的b—g和b—y链，两链有共同的起始顶点2，中间又在顶点8处相交叉。按连通链不能进行交换空出颜色的原则，b、g、y两种颜色目前肯定是空不出来的，只能移去两个同色r。但赫渥特在从顶点1和3交换了r—g和r—y链后，却只能移去一个r，而不能同时移去两个r。所以就认为这个图不能4—着色，而否定了坎泊的证明。
是什么原因产生了赫渥特空不出颜色给待着色顶点V的呢，我们进行分折如下：
本来图中从顶点1到顶点4是没有连通的r—g链的，从顶点3到顶点5也是没有连通的r—y链的，他们分别被b—y链和b—g链分隔成了不连通的两部分，应该是可以交换的。但是从顶点1交换了r—g链后，虽移去了一个同色r，但又产生了从顶点3到顶点5的连通链r—y，再交换r—y链后便不能移去第二个同色r；相应的，从顶点3交换了r—y链后，也是只移去了一个同色r，也又产生了从顶点1到顶点4的连通链r—g，再交换r—g链后也不能移去第二个同色r。
本来连通的链是不能交换的，即就是交换了，也是空不出颜色的，这是坎泊的颜色交换技术使用权用时的原则。而赫渥特却硬是要交换已是连通的链，当然是空不出颜色来的。这是赫渥特的错误所在。
现在再从图的着色结构上去分折产生这种不能同时移去两个同色r的原因。坎泊已经证明了有两条连通链，但两链没有交叉顶点时的情况下，是可以同时移去两个同色r的。也正是因为两条连通链存在着交叉顶点这一原因，才使得分隔r—g链的b—y链圈内含有部分的b—g链，当从顶点1交换了r—g链后，就使得这部分b—g链中的g全部变成了r，从而就产生了从顶点3到顶点5的连通链r—y；同样的原因，也会在从顶点3交换了r—y链后，也就产生了从顶点1到顶点4的连通链r—g。从而造成了不能同时移去两个同色的的题。
现在我们可以这样想：不连通的链交换后，是能够空出颜色的；我们能不能想办法，让图中不含有连通链，即把图中已连通的链给以破坏呢，回答是可以。两条链既有两个相交顶点，若改变了相交顶点的颜色，两条连通链不就同时都断开了吗，当然可以。再观察图的着色结构，图中还有一条环形的g—y链，把b—r链分隔成了两个不连通的部分，交换一部分b—r链并不影响另一部分顶点的颜色。两条连通链的两个相交顶点正好就分别分布在其中各一部分中，而要改变任一个相交顶点的颜色，也只能通过交换b—r链，才能达到目的。这样，我们从两链的任一个相交顶点起，对b—r链进行交换后，图中原有的连通链都会断开，成为可以从5—轮轮沿顶点空出颜色来的图。再进行一次别的交换，就可以空出一种颜色，给待遇着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一。
为了使图中顶点少点，看的时候明晰起见，我用赫渥特图的简化图——“九点形”图来做一下着色演示，读者可以用同样的方法对赫渥特图进行一下4—着色，结果是相同的（如图2）。经过不同的交换，可以使待着色顶点V着上图中所用的任何一种颜色。

请注意，当从顶点8（或顶点2）交换了b—r链后，图就变成了仍有两条连通链r—g和r—y（或b—g和b—y）“十”字交叉的图，两链只有着色为r（或b色）的交叉顶点8，而没有着有相同颜色的共有起始顶点，即两链只有一个共同顶点8r（或8b）了，这样的构形一定是可以空出颜色给待遇着色顶点V的）。
3、赫渥特图4—着色的成功对我的启发
我对赫渥特图4—着色的成功，就更加坚定了我对四色猜测进行证明的信心和决心。我把我对赫渥特图的这种着色方法叫做“断链法”。既然是“断链”，当然不一定都要从两链的相交顶点去进行“断开”，从其他顶点断开也是可以的。所以我在二○一○年从张彧典先生的书《四色问题探秘》中得到得到敢峰—米勒图后，就用从两链的非共同的起始顶点使其“断开”，从而对米勒认为不能4—着色的敢峰—米勒图进行了4—着色（说明在我对敢峰—米勒图进行4—着色之前，敢峰先生和张彧典先生分别已于一九九二年和二○一○年，已对该图进行了4—着色）。
在对赫渥特图的4—着色过程中，我还发现赫渥特图的密度是3，但其色数却是4，大于其最大团的顶点数，这就启发了我对图的色数为什么会大于图中最大团的顶点数的研究。通过研究，我发现了在最大团Kω外有一条各个顶点都与最大团中相同的ω－2个顶点相邻的道路，在道路的两个端点顶点与最大团中所剩的两个顶点分别相邻时，当道路为奇道时，道路中总有一个顶点同化不到最大团中去；而在道路的两个端点顶点与最大团中所剩的两个顶点之一同时相邻时，道路中也总有一个顶点同化不到最大团中去；有一个顶点不能同化到最大团中去，同化后的图的最大团就会增，这样的图着色的最后结果，图的色数就会比原图的最大团的顶点数增大1。我把这种道路叫不可同化道路。同时我继续研究，还得到了图的色数最大是不会超过图的最大团的顶点数（即图的密度）的1.5倍。
进而又得到判断平面图的色数的办法如下：
孤立顶点的色数肯定是1，与其密度相同，这是没有问题的；树图的密度是2，图中没有不可同化道路，色数仍然是2；因大于3—圈的奇圈中，对K2有一条不可同化的道路，所以含有大于3—圈的奇圈的不含轮的图的色数一定是3，比其密度2大1，但不大于密度的1.5倍；大于3—轮的奇轮中，对K3有一条不可同化的道路，所以含有大于3—轮的奇轮的图的色数一定是4，比其密度3大1，也不大于密度的1.5倍。密度是4的平面图中，最大团K4（即3—轮）外是不可能有不可同化道路的。若密度是4的图中，最大团K4外有不可同化道路，可以证明，这个图一定是非平面图，不再是平面图了。所以密度是4的平面图的色数是不可能再大于其密度或最大团的顶点数。
经过多年的研究，现在我已经能用多种方法对四色猜测进行证明了，其中也包括多种不画图不着色的方法。所以我说，要证明四色猜测是否正确，首先必须解决赫渥特图能否4—着色的问题，以明确以后的主动方向，是进还是退。
我的“断链法”与敢峰和张彧典二位先生对敢峰—米勒图的着色方法实质上都是相同的，只是出发点是不同的：我是从“断链”的角度上去进行的，交换的是图是的任一条C—D链，这链是不经过原图中两连通链的相交顶点的；这两位先生则是从敢峰—米勒图在经过了多次赫渥特颠倒后，得到的图总在敢峰—米勒图和赫渥特图型构形（当时他们并没有体会到这个构形就是赫渥特构形）这两种构形之间进行转化，且两种构形中始终都有环形的A—B链，把C—D链分成了两部分，交换的也任部分C—D链。两种方法交换的结果，都可使原来敢峰—米勒图转变成可以空出颜色给待着色顶点的构形（关于什么是赫渥特颠倒，这里就不再细说了）。
对赫渥特图着色的目的，并不是只给其进行4—着色而已。如果四色猜测是正确的，它也一定是能够4—着色的。对赫渥特图进行4—着色的目的，主要是在于要找出赫渥特不能对其4—着色的原因，在他着色的基础上对能不能对其进行4—着色，如何对其进行4—着色。总结对其4—着色的经验和方法。以便在以后再遇到与其具有同类型的着色结构的图时，同用样的方法去给其待遇着色顶点进行着色（如在上面说的我用“断链法”对敢峰—米勒图的4—着色）。但对赫渥特图的4—着色成功，这并不是就说明了四色猜测就证明是正确的了，而是为了对进一步证明四色猜测从方法上作好准备。
4、关于对赫渥特图的着色情况及其他
一九九二年前后，我国的雷明先生和董德周先生用同样的方法（基本用的都是断链法），在赫渥特原着色的基础上，对渥特图进行了4—着色，且有多种4—着色模式；同年又有英国的米勒先生也对赫渥特图在赫渥特原着色的基础上，用自已的所谓赫渥特颠倒法，对赫渥特图进行了4—着色；二○○八年许寿椿教授等出版的《图说四色问题》一书中有作者用自已编写的算法，对赫渥特图进行的4—着色模式；二○一○年张彧典先生出版的《四色问题探秘》一书中也有作者用米勒的赫渥特颠倒法对赫渥特图进行的4—着色模式；二○一○年以后还有可以从网上看到的刘福（一棵小草）和郑敏（平常心）等对赫渥特图进行的4—着色模式。除此之外，还没有在别的文献资料上看到过对赫渥特图进行4—着色的模式。
由于对赫渥特图进行4—着色这样的重要，所以许寿椿教授才在他的书中写了：“希伍德反例、塔特反例及塔特反例类型图，都是用来揭示肯普和泰特证明中的错误。这些图有没有四着色、有多少四着色、有怎样的四着色等等，长期以来一直见不到有什么肯体结果发表。一个不可否认的明显的事实是：至今为止，在大量的论文和专著中，我们很难看到非平凡的着了四色的例图。至于给出图的全部四着色，那就更不用说了。”这一段话，并且在后面还补充说：“这表明图的四着色确实不简单；也表明，人们至今对四色问题的了解还很缺乏、浮浅。”所以我说，要研究四色问题，不能不对赫渥特图进行4—着色。
但是许教授在书中说这段话之前，又有一段与其意思不同的话，这就不应该了。许教授说：“需要特别说明一下，希伍德反例图的作用仅仅是揭示了肯普证明中的漏洞，并不是说这个图不能用四种颜色着色。后来有些数学爱好者误解了这个反例的含义，把证明这个反例图能够四着色当做重大课题，并且认为证明了这个例图能够四着色是自已的重大成就。”在后面紧接着，教授讲了一个退休高级工程师对赫渥特图进行4—着色的故事，并对这位老人进行了怜闵和同情，而更多的是讽刺和挖若味，没有对老人的坚强意志进行一点肯定。完全与报导这位老人事迹的记者报以相反的态度来对待这件事，实在令人难以想象。教授明明在上面说了一百多年来，“至今为止，在大量的论文和专著中，我们很难看到非平凡的着了四色的例图。”吗，为什么又对决心攻克该图4—着色的老人报以这种态度呢。教授不是在书中也对赫渥特图进行了4—着色吗。为什么就不能“把证明这个反例图能够四着色当做重大课题”呢，难道攻克了一百多年来没有人能对其进行4—着色的图，就不能“认为证明了这个例图能够四着色是自已的重大成就”吗。当然了，只有在赫渥特原着色基础上对其进行的4—着色，才能算作是“重大成就”，象教授那样用自已编的算法，虽然也对该图进行了4—着色，但成果的作用就没有前者的成就大。前者是否定了赫渥特对坎泊方法的否定，而后者只是对一个普通空白平面图进行了4—着色而已。请问许教授，你能说明白赫渥特的错误是处在那里吗，你能在赫渥特原着色的基础上对赫渥特图进行4—着色吗。

雷  明
二○一六年十月十三日于长安

注：此文已于二○一六年十月十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

费尔马1

雷老师您好：我看了你的这篇文章之后，马上对赫渥特图进行了填色，大约用了一个小时就填写完成。说实话这个赫渥特图很是复杂啊！采用我的圆环布局涟漪法没费多大的劲就填充成功。图片发不上，以后再发。这又一次证明四色猜想是正确的。赫渥特费尽心思试图推翻四色猜想，看来是不可能的了！有句话叫真金不怕火炼，我相信只要命题正确，就很有可能被我们证明，而且，是举不出一个反例来的。

雷明85639720

费尔马朋友：
1、赫渥特图是一个着了色的图，其中只有一个顶点未着色；
2、不能只对没有着色的赫渥特图去着色，而要在赫渥特原着色的基础上对其进行了4—着色，才是正确的；
3、在赫渥特原着色的基础上对其进行了4—着色，才能有力的说明赫渥特是错的，而坎泊是对的，只是遗漏了一个构形未证明而已，我们现在只是对这一遗漏进行补充；
4、我等着看到你的文间我你对赫渥特图的着色结果。

费尔马1

以我的方法，如果到最后不能完成，就要改变整个方案重新填写，总能填写成功。今天一开始我也是填到最后剩下了一个邻区没法填了，扔掉了这个方案，之后又重新填写，就成功了！如果赫渥特的填法是错误的，那么，在他的基础上继续操作就无路可行了！所以，我建议扔掉赫渥特的方案，重新操作。一定能够圆满完成填充任务的。当然，要有一定的方法，才可快速成功，若不然，事倍功半。

雷明85639720

如果不在赫渥特着色的基础上，对这个图着色就没有任何意义了。比赫渥特图复杂的图多的是，可以说都是可以4—着色。光一个未着色的图，就不具有赫渥特图那样的代表一类构形（着色结构类型 ）的代表性。着过色的赫渥特图，代表着一类5—轮构形的着色结构类型 ：有两条连通链（如果不着色，怎么能有各种色链呢），且两链有一个共同的起点，还有一个交叉顶点。你如何在他已着色的这个基础上，通过运用坎泊的颜色交换技术，给其中的未着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一，这才是真正的对赫渥特图的着色。必须在赫渥特着色基础上的原因，就是因为赫渥特用这样的带色图否定了坎泊的证明的，所以必须要在他着色的基础上去4—着色，不这样做，就不能否定赫渥特对坎泊的否定，你明白吗。不但要能在原图的基础上4—着色，而且要能说明赫渥特为什么不能4—着色，而自已为什么又能进行4—着色，这样才更有说服力，才能否定赫渥特对砍泊的否定。否则，是没有用的。

雷明85639720

，，，，

雷明85639720

费尔马朋友：
即就是在赫渥特原着色的基础上，对赫渥特图进行了4—着色，尚不能说明四色猜测就得到了证明是正确的，何况你给一个没有着色的赫渥特图进行了4—着色呢。在一个没有着色的赫渥特图上进行4—着色，可以说大部分人都能做到，但要在赫渥特原着色的基础上对其进行4—着色，可能一般的人是做不到的。只给一个空的赫渥特图进行了4—着色，说明你只对这一个图进行了4—着色，只是个别的图，根本不能说明对于任何平面图来说的四色猜测就被证明是正确的。你那只能叫做着色，而不能叫做证明。着色只是真对某一个具体的图而言的，而证明则是对一般的、非具体的图而言的。还是请你认真考虑，是否是这样。

雷明85639720

，，，，

费尔马1

雷老师：我们用1、2、3、4填写赫渥特图，因为1、2、3、4可以代表任意的四种颜色，所以赫渥特图就有一个解。坎泊的交换颜色方法实际上就是改变填充方案，若一个方案不对，必然要改换其它方案。这个更换方案的过程就是交换颜色，还是用1、2、3、4填写比较通用。你可以查看一些人的填写结果，看看是不是就一个解？

雷明85639720

费尔马朋友：
1、不管是一个解还是有多个解，总之能4—着色就说明赫渥特图这个具体的图是可以4—着色的。但赫渥特图这种类型的图它代表的是整个一类与它的着色结构的构形（构形就不是具体的图），所以必须在赫渥特原着色基础上去进行着色，才是对所有与赫渥特图有同类着色结构的构形的图都能进行4—着色。这才是证明。只对空白的赫渥特图进行4—着色，只能是对一个图的着色。只能叫着色，而不能叫证明。
2、坎泊证明别的构形和赫渥特证明五色定理（虽然这个五色定理是没有意义的）时，都是先在轮沿顶点着了颜色，然后再假设轮沿外的已着过色的顶点间有什么样的连通链，再决定采用什么样的交换方法，交换后才从轮沿顶点中空出颜色，给待着色顶点着上。这就叫构形可约。
3、看来你还得多看一点有关图论的书，多了解一下着色法证明四色猜测的方法和步骤。