向量空间和多项式函数

kioto · 发表于 2010-11-8 06:22

函数f : R → R 叫做多项式函数，如果自然数n和实数a0; a1; : : : ; an存在,以便f(x) = a0+a1x+a2x2+: : : +anxn 有效。
所有x ∈ R
证明所有多项式函数的空间是R-向量空间。
（R=实数）

elimqiu · 发表于 2010-11-8 10:53

我想这是必须自己做的习题。检验对基本概念的理解。

kioto · 发表于 2010-11-8 13:52

能不能给个提示？

luyuanhong · 发表于 2010-11-8 15:08

证明如下：

kioto · 发表于 2010-11-9 00:04

为什么是“从某一项开始，后门的ai都是0？”

luyuanhong · 发表于 2010-11-9 00:19

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/09 00:40am 第 1 次编辑]

下面引用由kioto在 2010/11/09 00:04am 发表的内容：
为什么是“从某一项开始，后门的ai都是0？”

因为按照定义，“多项式函数”指的是有限项的多项式，并不包括真正有无穷多项的无穷级数。
我为了简单起见，把“多项式函数”都写成了无穷级数的形式，同时又加上说明：“从某一项
开始，后面的 ai 都是 0 ”，这样就保证了“多项式函数”实际上都是有限项的多项式，
而不是真正有无穷多项的无穷级数。

kioto · 发表于 2010-11-9 00:25

您帮忙证明的性质是第5条和第7条吧？

luyuanhong · 发表于 2010-11-9 00:59

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/09 01:02am 第 1 次编辑]

下面引用由kioto在 2010/11/09 00:25am 发表的内容：
您帮忙证明的性质是第5条和第7条吧？

要证明一个空间是向量空间，首先要证明所定义的加法运算和数乘运算有封闭性，然后再要证明
它满足向量空间的 8 条性质。我在第 4 楼中，就是这样分两步来证明的。
不过我在后面证明它满足 8 条性质时，为了避免繁琐，写得比较简单了一些。
加法运算封闭性并不是后面的第 7 条性质，数乘运算封闭性也不是后面的第 5 条性质。

000-000-000 · 发表于 2010-11-9 02:33

[color=#D2691E]
陆老师的解答在我看来是那么优美，象一首首田原诗，风光秀丽，景色怡人，如甘露，如故知，静夜孤灯赏佳作，数海畅游任汝行。

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