[分享]外切四边形的一个性质

elimqiu

如图，BD, AC 是四边形的对角线， E是它们的交点。
求证 1/h1 +　1/h3 = 1/h2 + 1/h4

denglongshan

Let me try!

elimqiu

请 ccmmjj 兄还有飘飘，drc2000 同学看看

ccmmjj

下星期给解。

denglongshan

drc2000

设圆半径为1,建立坐标系,用直线法线式去求解,运算很烦琐,不提也罢.

denglongshan

[这个贴子最后由denglongshan在 2010/11/13 10:29pm 第 1 次编辑]

上楼：
    用M、N表示两切点四边形对角线的中点。
    用复数证明不难，运算不烦琐,如上图所示，设原点与圆心重合，并且是单位圆。
容易算出向量H1E=(u-w)(y-u)(v-u)/(2(uw-vy))，H2E=(w-u)(y-w)(v-w)/(2(uw-vy))，而e';=[(w+u)-(v+y)]/(wu-vy)=2*向量NM/(wu-vy),因此可以算出，
高h1=WU*UY*UV*MN/(4*OY^2*OE），绿色等式说明计算结果正确。同样方法算出高h2=WU*WY*WV*MN/(4*OY^2*OE），其余的证明利用托勒密定理(UY*UV+WY*WV)/(WV*UV+WY*YV)=WU/VY，容易证明。
另外一种方法是：
把向量H2E的方向调整与向量H1E相同，则可以算出：
1/H2E+1/H1E=4MN*OY^3/(OE*UV*YU*WY*WV),由于是轮换等式，结论可以证明。遗憾的是这个结论是错误的，没有找到错误原因，希望细心的网友指出，我是极粗心的，发现不了错误。图中红色的等式与计算结果不符，说明有错。

kanyikan

1/h1 +1/h3 = 1/h2 +/h4 是四边形ABCD为圆外切四边形的充要条件。

申一言

   是 1/h4吧？

ccmmjj

用四边形的调和性质证明。如图，L1、L2、L3、L4是调和线束，（L4延长在AD与BC交点上）。可以转化为它们夹角的正弦的有关性质（可参考《高等几何》）。其中 sin/sin=h1/h3,由配极变换，E当在对切点连线上，则可结合圆有关性质推证之。 我大概就是这么考虑的，难得kanyikan老兄（原gocod）在此，此人对纯几何颇得三昧，望有漂亮的证明分享。