直线 L 与抛物线 y^2=4cx 交于 A,B 两点，∠AOB=90°，证明：L 必过 P(4c,0) 点

luyuanhong · 发表于 2019-3-22 00:09

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫 · 发表于 2019-3-22 18:57

提示：（1）设A(t＾2/4c,t), B(m＾2/4c,m),由条件易得m=-16c＾2/t；由点斜式易得AB的方程为y-t=t(4cx-t＾2)/(t＾2-16c＾2)；当x=4c时，有y-t=-t,即y=0.
（2）设AB的方程为y-1=k（x-2）,联立抛物线并消去y得x＾2-5kx+5(2k-1)=0，由此有x1x2=5(2k-1)（x1，x2为A、B的横坐标）,且y1y2=( x1x2) ＾2/25；又由条件有y1y2= -x1x2，故x1x2=5(2k-1)=-25，即k=-2.

luyuanhong · 发表于 2019-3-22 19:24

谢谢楼上波斯猫猫的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong · 发表于 2019-3-22 20:24

luyuanhong · 发表于 2019-3-22 23:37

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直线 L 与抛物线 y^2=4cx 交于 A,B 两点，∠AOB=90°，证明：L 必过 P(4c,0) 点

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