[原创]K 生素数猜想的证明

shuzimi

[这个贴子最后由shuzimi在 2010/11/14 04:26pm 第 1 次编辑]

摘要  k 生素数就是相继素数差为 k 的素数。借助素数定理，通过建立相继素数差的分布函数，对区间[1,N]、[N+1,2N]内的素数分布进行分析，证明这两个区间分布函数比值的极限存在且等于 1，从而证明 k 生素数数量是无穷的。
关键词 素数；相继素数差；分布函数；极限；等价；

1．相继素数差的分布函数
    根据素数定理可知表示不大于N的素数个数的一个公式如下
           π(N)＝N/lnN＋o(N)；(其中o(N)是误差项)             (1-1)
    记S(N)为忽略误差项后区间[1,N]内奇素数个数
           S(N)＝N/lnN；                                     (1-2)
    记s(N)为区间[N+1,2N]内素数个数，根据素数定理
           s(N)＝N(1-ln2/lnN)/ln(2N)；                       (1-3)
    s(N)与S(N)二者比值的极限为
           lim{s(N)/S(N)}＝1；                               (1-4)
           N→∞
    记 F(N,x)、f(N,x)分别为区间[1,N]和[N+1,2N]内相继素数差为2x的素数的分布函数。
    定理 1-1：D(N)为不大于N的素数之最大相继素数差，当 2x＞D(2N) 时，以下两式都成立
          F(N,x)＝0；(x＞D(2N)/2)                     (1-5)
          f(N,x)＝0；(x＞D(2N)/2)                     (1-6)
    证：(略)
    根据这个定理，可知 F(N,x)、f(N,x) 分别满足以下两式
                D(2N)/2
           S(N)＝∑F(N,x)；                                   (1-7)
                  x=1
                D(2N)/2
           s(N)＝∑f(N,x)；                                   (1-8)
                  x=1
2．几个统计值
    记V(N)为区间[1,N]内素数相继素数差的平均值，根据式(1-2)则有
           V(N)＝N/S(N)＝lnN；                                (2-1)
    记v(N)为区间[N+1,2N]内素数相继素数差的平均值，则有
           v(N)＝ln2N/(1-ln2/lnN)                             (2-2)
    记P(N)为区间[1,N]内相继素数差不大于2×V(N)的素数个数、p(N)为区间[N+1,2N]内相继素数差不大于2×v(N)的素数个数。
    记 [V(N)]、[v(N)] 为V(N)及v(N)的整数部分，根据式(1-7)、(1-8)，P(N)、p(N)可分别表为
                [V(N)]
           P(N)＝∑F(N,x)；                                   (2-3)
                  x=1
                [v(N)]
           p(N)＝∑f(N,x)；                                   (2-4)
                  x=1
    定理 2-1：lim{p(N)/P(N)}＝1。
             N→∞
    证：(略)。
原文请看下面博客
http://blog.sina.com.cn/u/1848603137

shuzimi

哥迷何在

熊一兵

[这个贴子最后由熊一兵在 2010/11/12 03:03pm 第 1 次编辑]

在《概率素数论》上的K生素数一章，专门从定量分析的角度讨论过这个问题

simpley

从刘忠友的单位论，到能一兵的素数论，一脉相承，刘忠友的弟子还真不少。

白新岭

下面引用由熊一兵在 2010/11/12 03:02pm 发表的内容：
在《概率素数论》上的K生素数一章，专门从定量分析的角度讨论过这个问题

楼主的k生素数与熊大侠的k生素数群不是一会是。

ysr

楼主的k生素数与熊大侠的k生素数群不是一会是。
  到底什么是K生素数？请赐教！

shuzimi

各位大侠可发表高见

ysr

不敢当，我真的不了解什么是K生素数，望赐教

白新岭

k生素数（群）是指形如（P,P+2a1,P+2a2,....P+2an)的素数群，这一组数当p为素数时，同时后边的代数表达式都是素数时，就是一组k生素数（群）。前后两个素数的差为k生素数的总段长（总间距),这样的一组数据中有几个素数就称几生素数。楼主说的k生素数好像是指连续两个素数的间距为k的素数对，例如2生素数(P,P+2),2生素数(P,P+4),2生素数(P,P+2m).第一个例子就是大家都熟悉的孪生素数对。
3生素数群（P,P+2,P+6)和(P,P+4,P+6)两种类型（指最密的3生素数群），最密的4生素数群（P,P+2,P+6,P+8),........。
大家有兴趣可以看熊大侠的《概率素数论》上的K生素数一章，在他的签名中有连接---3楼底部的网址。

ysr

谢谢，是的，楼主的是和您的不一样，K生素数群猜想可能不太好证明，楼主的倒容易，和孪生素数一样