请数学专家看一下：这是不是集合论中一一对应的逻辑矛盾？

门外汉

        从微积分原理与集合论“一一映射”方法中所推导出来的一条数学悖论

  摘要：集合论是德国数学家康托尔所建立的实无穷数学理论，一一映射是这个数学体系中非常重要的一个数学工具，通过这个数学工具，可以使全体偶数与全体自然数之间形成一一映射，从而得到自然数集合的基数与其真子集的基数相等的这一违反直觉的结论。本文将会运用微积分原理，将两条不等长度的线段无限微分，将其中一条线段的所有微元一一映射到另一条线段的所有微元中，从而使得两条不等长度的线段长度相等，由此揭示出集合论中存在着重大的逻辑矛盾。
关键词：微积分原理，集合论，实无穷，一一映射。
正文：
微积分与集合论是现代数学的两个重要分支，同时也是现代数学的两个基础学科，由于这两门学科在创建初期逻辑基础不严谨，存在着难以解决的逻辑矛盾，因此分别导致了第二次数学危机和第三次数学危机。
在集合论中，一一映射是这个数学体系中非常重要的一个数学工具，如果没有这个数学工具，则集合论中的许多结论都无法实现，如：全体偶数的集合与全体自然数的集合对等，全体自然数的集合与全体实数的集合不对等，这些结论都是通过一一映射这个数学工具来证明的。
在集合论中，全体自然数的集合与全体偶数的集合对等，也即是一个无穷集合可以与其自身的真子集对等，这一结论是违反人类的直觉的，因为这一结论也即是“部分等于整体”，但康托尔通过全体自然数与全体偶数的一一映射关系：n＝2n，使得任意的一个自然数皆有唯一的一个偶数与其相对应，因此实现了无穷集与其真子集对等的这一结论。这一结论虽然违反人类的直觉，但从逻辑上看来却又似乎是完全正确的。那么，这个结论难道真的是没有任何的逻辑漏洞吗？所以接下来，本文将会运用微积分原理与一一映射共同推导出一条数学悖论，从而揭示出集合论中存在着重大的逻辑矛盾。
微积分原理是指：如果将一条长度为L的线段进行无限微分，再将其积分组合，仍然能够得到与微分前相等的长度L。例如：将L分割成10等份后，再将这10等份依次相加，最后仍然能得到之前的长度L。同理，如果将L无限微分之后再无限积分，仍然能够得到与微分前相等的长度L，反之，如果得到的长度大于L或者小于L，则违反了微积分原理。
也就是说：在微积分理论中，微分与积分是可互逆的运算关系。
按照这种微积分原理，设两条线段A和B，线段A的长度为1，线段B的长度为2，即：B＝2A。
首先将线段A的长度进行相等长度的无限微分，并且使得A的所有微元的数量与自然数的总数量一样多，即：微分后的结果为：A＝a1，a2，a3，a4……,且有a1=a2=a3=a4……并且使得A的所有微元与所有自然数一一对应。
说明一点的是：这种无限微分的方法按照潜无穷的观点是不能够完成的，但因为康托尔的集合论是实无穷的数学理论，所以在实无穷的观点下，这种无限微分的方法是可以完成的，反之，如果不可以完成，则康托尔的集合论就是潜无穷观的而不是实无穷观的了。
并且，A的每一个微元都是大于0的，因为假设A的每一个微元都是等于0的，则微元的总量便是不可数无穷的，而这种微分的结果在微积分的体系中是同样不可以完成的（因为无穷小量不能等于0）
将线段A进行无限微分后，如果再将其无限积分，即a1+a2+a3+a4……，按照微积分原理，它的总长度仍然等于1.
接下来，将线段B也以相同的方法进行无限微分，并且使得线段B无限微分后微元的数量与线段A的微元的数量相等，即：线段B微分后的结果为：B＝b1，b2，b3，b4……，且有b1＝b2＝b3＝b4……并且使得B的所有微元与所有自然数形成一一对应，也即是与A的所有微元形成一一对应。
由于A与B做的是相等数量的无限微分，并且B的长度是A的长度的2倍，所以必有线段B的每一个微元b的长度都大于线段A的每一个微元a的长度，且有b＝2a。
接下来，将线段B的每一个微元b的长度都一分为二，即：使得b1＝b11，b12；b2＝b21，b22；b3＝b31，b32；b4＝b41，b42……
由此使得b11＝b12＝b21＝b22……＝a，即再次分割后的每一个B的微元与A的每一个微元长度相等。
然后，将再次分割后的B的每一个微元一一映射到A的每一个微元上，即假设以“切割平移”的方法将B的每一个微元“切割”后一一“平移粘贴”到A的每一个微元上，由此可以在B的所有微元与A的所有微元形成一一映射的关系如下：b11――a1；b12――a2；b21――a3；b22――a4；b31――a5；b32――a6……
这种方法，也即是以“切割平移”的方法，将B的所有微元长度一一“粘贴”到A的所有微元长度上，从而使得线段B的长度由原来的长度2变为1，即与线段A的长度相等。
反之，如果将线段A的所有微元一一映射到线段B的所有微元中，则可以使得线段A的长度由原来的长度1变为长度2.
进尔推广一下便是：如果将一条长度为1的线段经无限微分后再通过一一映射的方法进行无限积分，可以使该线段变成任意的长度，甚至为无限大。
古希腊哲学家巴门尼德曾有一个关于世界是一而不是多的悖论，这个悖论的大意是：世界是一个整体，而不是多元的组合，因为如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到0，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于0，则总和是0，若分割的结果不为0，则总和是无限大。
所以，如果一一映射这种数学工具的方法运用不合理，便会证实巴门尼德的世界是一而不是多的论证方法是正确的。
由此说明在集合论中存在着重大的难以解决的逻辑矛盾。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
主帖中的推论比较繁琐，来一个等效的变种推论吧，这个变种的推论是与“分球悖论”等效的：
将一条长度为1的线段按照一分为二，二分为四，四分为八........的方法微分成无穷多个长度相等的微分元，将每一个微分元按照自然数的顺序一一编号。
然后，将所有偶数编号的微分元从该线段中“切割平移”出来，重新积分组合成一条新的线段。
由于全体偶数的基数与全体自然数的基数相等，所以这条重新积分组合的线段的长度仍为1.而所有奇数编号的微分元重新积分组合的线段的长度也为1.
也就是说：通过无限微分再积分的方法，可以将一条长度为1的线段变为两条长度为1的线段。
这个就类似于“分球悖论”

elimqiu

下面引用由门外汉在 2010/11/11 11:01am 发表的内容：
首先将线段A的长度进行相等长度的无限微分，并且使得A的所有微元的数量与自然数的总数量一样多，即：微分后的结果为：A＝a1，a2，a3，a4……,且有a1=a2=a3=a4……并且使得A的所有微元与所有自然数一一对应。
说明一点的是：这种无限微分的方法按照潜无穷的观点是不能够完成的，但因为康托尔的集合论是实无穷的数学理论，所以在实无穷的观点下，这种无限微分的方法是可以完成的，反之，如果不可以完成，则康托尔的集合论就是潜无穷观的而不是实无穷观的了。
并且，A的每一个微元都是大于0的，因为假设A的每一个微元都是等于0的，则微元的总量便是不可数无穷的，而这种微分的结果在微积分的体系中是同样不可以完成的（因为无穷小量不能等于0）

这里涉及的‘微分元’，‘实无穷’等概念都不是标准分析里的东西。正是这些不确切的概念的综合导致了‘悖论’。

门外汉

我不是反对标准分析，而是反对集合论。
按照集合论的实无穷观点：一条长度为1的线段可以无限微分成与全体自然数一样多的微元（如果不可以的话，集合论就是潜无穷的，同样矛盾）
基于以上原理，由此推导出集合论中的悖论。
这个悖论与“分球悖论”是等效的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
另外一个观点：实无穷观认为：空间无限可分，所以一条有限的线段可以无限微分，使得“总微元”的数量与全体自然数“一样多”。
如果不是这样的话，说明实无穷观也是有问题的

elimqiu

下面引用由门外汉在 2010/11/11 11:27am 发表的内容：
我不是反对标准分析，而是反对集合论。
按照集合论的实无穷观点：一条长度为1的线段可以无限微分成与全体自然数一样多的微元（如果不可以的话，集合论就是潜无穷的，同样矛盾）

这是对实无穷和潜无穷的误解。“一条长度为1的线段可以无限微分成与全体自然数一样多的微元”的依据在哪里？ 您的微元是怎么定义的？
为什么“如果不可以的话，集合论就是潜无穷的”？

门外汉

首先请您说明一下您的观点：空间是无限可分的还是不可以无限分割的？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
我在3楼写错了，那个不是实无穷与潜无穷的区别。
应该是空间是不是无限可分的这个问题。

门外汉

下面引用由elimqiu在 2010/11/11 05:44am 发表的内容：
这是对实无穷和潜无穷的误解。“一条长度为1的线段可以无限微分成与全体自然数一样多的微元”的依据在哪里？ 您的微元是怎么定义的？
为什么“如果不可以的话，集合论就是潜无穷的”？

举例来说：在实数轴[0，1]区间中，有理点的数量是可数无穷的。
如果以每两个有理点来确定一条无穷小的线段，并且任意两条线段都是没有交集的，也就是说：[0，1]是由无穷多个无穷小线段的并集所构成的。
那么，这些无穷小线段的数目是不是可数无穷的？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
或者您是不是会认为：将一条长度为1的线段无限微分，只能微分成有限个微分元，而不能微分成无限个微分元？

elimqiu

你是说把一个线段二等分，而对所得子线段再二等分，是否可以无限如此做下去。
如果可以，那么空间无限可分，否则空间不是无限可分。是这样吗？
如果你的空间无限可分的概念如上所说，那么实数理论认为空间是无限可分的。

门外汉

下面引用由elimqiu在 2010/11/11 06:00am 发表的内容：
你是说把一个线段二等分，而对所得子线段再二等分，是否可以无限如此做下去。
如果可以，那么空间无限可分，否则空间不是无限可分。是这样吗？
如果你的空间无限可分的概念如上所说，那么实数理论认为空间是无限 ...

可以这样认为。
也就是说：将一条长度为1的线段一分为二，二分为四，四分为八.........
由此无限分割下去。

elimqiu

好。那么这种无限可分性的每一步的结果都是有限多个小线段。把它们的长度加起来，还是1.
即 2^n·2^(-n) = 1
对这个式子两边取极限（令 n 趋于无穷）得
lim  2^n·2^(-n) = 1
n→∞
现在来看看您到底是如何导出悖论的？

门外汉

请教一下：这个n→∞中的n是不是可以取遍所有的自然数？