请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?

门外汉

首先声明一点,我不是想证明什么有理数不可数,实数可数这一类的证明,而是在辩论的过程中,对一些问题有一些疑问,所以把一些想法说出来,请大家评判.
在进入主题之前,先看几个前提条件1):自然数集与有理数集的基数相等;(2):自然数集的基数小于实数集的基数;(3):自然数集的幂集的基数大于自然数集的基数;(4):自然数集的幂集的基数与实数集的基数相等.(5):自然数集的幂集的基数为2^n.
下面进入正题:
将实数轴[0,1]区间按照"二分法"无限分割,分割的方法为:1分为二,二分为四,四分为八......,依此类推,以至无穷.
那么第一步操作,会得到实数1/2.
第二步操作,会得到实数1/4,3/4
第三步操作,会得到实数1/8,3/8,5/8,7/8
第四步操作,会得到实数1/16,3/16,5/16,7/16,9/16,11/16,13/16,15/16.
......
如果这种操作方法进行无穷多次,那么它最终得到的实数将会是2^(n-1)
而且,用这种操作方法得到的每一个实数都将是一个有理数(即两整数之比),那么,用这种操作方法得到的所有有理数的集合它究竟是一个可数无限集合还是一个不可数无限集合呢?
(抱歉,有些思路没整理好,先发这些,以后再续)[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
我将这个“二分法无限分割”的方法起一个新的名词吧，叫做“无限逼迫法”。
我们知道，在实数轴[0，1]区间上，既存在有理数，也存在无理数，而且无理数的数量要比有理数的数量大得多。
但是，我们却不知道任何一个无理数例如圆周率PI它在数轴上的具体位置。
那么，可不可以用这种“无限逼迫法”将无理数从数轴之中“逼迫”出来呢？
那就是说：用二分法分割的方法，每一个操作步骤得到的实数都是有理数，那么有没有可能用这种方法将数轴上的所有有理数全都“查找”出来，最后剩下来的就全都是无理数了呢？

ygq的马甲

* 贴子主题： 请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?
答案：不能对等的
理由：二分法，只是 R(·,·)="∈" ，无论应用了多少次。而实数还包括 R(·,·)="﹁∈"


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“新”分类，“新”文化，“新”未来。（公理化的中国道学） 。
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附图：二维几何模型表示的逻辑类型

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【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪"﹁∈"∪"Φ"
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按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)="Φ" 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)="﹁∈" 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。
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ygq的马甲

我将这个“二分法无限分割”的方法起一个新的名词吧，叫做“无限逼迫法”。
我们知道，在实数轴[0，1]区间上，既存在有理数，也存在无理数，而且无理数的数量要比有理数的数量大得多。
但是，我们却不知道任何一个无理数例如圆周率PI它在数轴上的具体位置。
那么，可不可以用这种“无限逼迫法”将无理数从数轴之中“逼迫”出来呢？
那就是说：用二分法分割的方法，每一个操作步骤得到的实数都是有理数，那么有没有可能用这种方法将数轴上的所有有理数全都“查找”出来，最后剩下来的就全都是无理数了呢？

【逼近】，是另外的概念，其实就是【极限】
"但是，我们却不知道任何一个无理数例如圆周率PI它在数轴上的具体位置。" 这种说法是不“严谨”的， π的位置，就是 π[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

极限，并不是“相等＝”。这，在概念上是要清楚的

luyuanhong

按照楼主的“二分法”，可以得到［0,1］中所有可以用有限位二进制小数表示的有理数。
这样得到的有理数全体，可以与自然数全体建立一一对应，所以基数与自然数集相等。
但是，用这样的做法，不可能得到所有的实数，即使是所有的有理数，也不可能都得到。
例如有理数 1/3 ，可以用 1/2，1/4，3/8，5/16，11/32，21/64，43/128，… 不断逼近，
但是，不可能得到精确值 1/3 。

ysr

[这个贴子最后由ysr在 2010/11/13 00:33pm 第 1 次编辑]

是不可数无限集，不是全体有理数，不会算完，所谓结果也只是无穷小的有限数，没有最终结果，所以不可数

门外汉

陆教授的回答我比较满意.5楼ysr 先生的回答我也好好思考一下.
但还想请教陆教授一个问题,用这种"二分法无限分割"所得到的有理数,不是2^n吗?

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/13 02:30pm 发表的内容：
陆教授的回答我比较满意.5楼ysr 先生的回答我也好好思考一下.
但还想请教陆教授一个问题,用这种"二分法无限分割"所得到的有理数,不是2^n吗?

"二分法无限分割"中的无限，这里应该是指“潜无限∞”，并不能保证是与原来的一样的
例如自然对数的那个 e 值

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/13 02:35pm 发表的内容：
"二分法无限分割"中的无限，这里应该是指“潜无限∞”，并不能保证是与原来的一样的
例如自然对数的那个 e 值

错了,"二分法无限分割"并不是潜无限的专用品,难道实无限就不能用这种方法了吗?
陆教授的意思是说:用这种方法不能得到所有的实数,甚至是不能得到所有的有理数.
但是用这种方法可以得到一个可数无穷个"无穷小线段",这个应该是没有什么问题的.

天茂

戴德金分割就是通过对有理数集的分割，来确定无理数的。

门外汉

下面引用由天茂在 2010/11/13 07:28pm 发表的内容：
戴德金分割就是通过对有理数集的分割，来确定无理数的。

但是:用我的"二分法无限分割",得到的任何一个数值皆为两整数之比,得不到任何一个无理数.