[求助]请教陆老师一道线性代数题，谢谢！

傻瓜学者

题目是：
A为n阶矩阵。若有(A-aE)(A-bE)=0，其中a不等于b。
试证A可对角化。
请教老师，谢谢！

luyuanhong

下面引用由傻瓜学者在 2010/11/14 07:10am 发表的内容：
题目是：
A为n阶矩阵。若有(A-aE)(A-bE)=0，其中a不等于b。
试证A可对角化。
请教老师，谢谢！

此题证明如下：

傻瓜学者

谢谢陆老师！ 不好意思陆老师，这些天我复习得比较晚，虽然第一天就赶紧开电脑看了您的回帖，但却没能及时回您的帖。 陆老师的方法相当严谨。尤其是“A^2=E则A可对角化”的结论在以后证明题中还是相当有用的！ 请陆老师您看看我这个方法行不行，今天我又复习了一遍第二章秩的内容： 若a是矩阵A的特征值而b不是，则|A-bE|不等于零，从而(A-aE)=0，可得A=aE，即A可对角化。 若b是矩阵A的特征值而a不是，同理可得A可对角化。 当a、b都是A的特征值时： n-r(A-aE)就是矩阵A属于特征值a的特征向量个数。 n-r(A-bE)就是矩阵A属于特征值b的特征向量个数。 虽然无法证明出它们各自有多少个特征向量，但如果能保证n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n，就能保证A可对角化。 n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n r(A-aE)+r(A-bE)=n 因为(A-aE)(A-bE)=0，所以r(A-aE)+r(A-bE)<=n 又r(A-aE)+r(A-bE)=r(A-aE)+r(bE-A)>=r(A-A+bE-aE)=r((b-a)E)=n 所以n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n。 综上，A可对角化。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 傻瓜学者 在 时添加 -=-=-=-=- 哦，之前应该加上一句“a、b中至少有一个是A的特征值，否则rA-aE、A-bE均为满秩，它们相乘不可能得零。”

luyuanhong

下面引用由傻瓜学者在 2010/11/17 09:18pm 发表的内容：
谢谢陆老师！
不好意思陆老师，这些天我复习得比较晚，虽然第一天就赶紧开电脑看了您的回帖，但却没能及时回您的帖。
陆老师的方法相当严谨。尤其是“A^2=E则A可对角化”的结论在以后证明题中还是相当有用的！
请陆老师您看看我这个方法行不行，今天我又复习了一遍第二章秩的内容：
若a是矩阵A的特征值而b不是，则|A-bE|不等于零，从而(A-aE)=0，可得A=aE，即A可对角化。
若b是矩阵A的特征值而a不是，同理可得A可对角化。
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你的证明方法也很不错！

yjzll12345

为什么不用极小多项式啊？