康托尔三分集究竟能不能被构造

门外汉

[这个贴子最后由门外汉在 2010/11/15 11:27am 第 3 次编辑]

以前看到康托尔的三分集时,觉得康托尔的想像力实在是高,居然能构造出来这么一个离奇古怪的“数学怪物”，对康托尔实在佩服得很。
但最近经过一些思考，总感觉这个康托尔的三分集有一点“问题”，当然，还得再次说明一下：千万不要认为我这个“民科”又要推翻权威了，我只是对康托尔的三分集有一点疑问，请数学专家来给解惑一下。
首先说一下康托尔三分集的构造过程：
　取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。
  我对康托尔三分集的疑问是：康托尔三分集中的元素究竟是点还是无穷小的线段？
  如果是无穷小的线段，那么它的长度必不为0.因为只要是“线段”，无论它的长度多么的“无穷小”，但线段必由无穷多个点构成，其测度必不为0.
如果康托尔三分集中的元素是“点”，那么，我认为康托尔三分集不能被构造。
原因如下：无论将1条长度为1的线段三等分，去掉中间一段，那么留下来的始终是一条线段，将这个过程重复无穷多次，所得到的仍然是无穷小线段。
  假使最后剩下来的是一个“单点”，那么必然会存在这样的一种情况：存在一条无穷小线段，该无穷小线段仅由相邻的三个点构成，去掉中间的一个点，则剩下来两个单点做为康托尔三分集中的最后元素。
但是因为线段上不存在相邻两点，所以这种情况是不能发生的，所以如果康托尔三分集的元素是点，那么康托尔三分集必然不能被构造。
而如果康托尔三分集的元素是无穷小线段，则康托尔三分集的测度必然不能为0.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
抱歉，想将正文的字体弄大一点，好让陆教授等老师看文章方便一些，但总弄不好，哪位网友教一教。

ygq的马甲

我对康托尔三分集的疑问是：康托尔三分集中的元素究竟是点还是无穷小的线段？
如果是无穷小的线段，那么它的长度必不为0.因为只要是“线段”，无论它的长度多么的“无穷小”，但线段必由无穷多个点构成，其测度必不为0.

你（门外汉），实际上仍然分不清楚：【层次】
************************************
无穷小的线段？这是变量【层次】所讨论的，康托尔集合论，是集合【层次】的
两者的关系：康托尔集合论所讨论的，是变量【层次】的【极限】值。特别提醒注意，是那个数值，并不是那个过程
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

因此，那个三分集的点，是不会有什么线段的

门外汉

既然康托尔三分集中的元素是点，那么按照我的说法，这个集合是不能被构造的啊。
因为如我主帖中所说：如果康托尔三分集的元素是点，那么就会存在这么一个步骤：
存在一种无穷小线段，该线段仅由相邻的三个点构成，去掉中间的一个点，则剩下来两个点做为康托尔三分集中的元素。
另外，将一条线段无限分割，是不能将该线段分割为长度为0的，只能分割成长度趋于0的无穷小。
康托尔是不是搞混了0和无穷小的关系啊？

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/15 00:00pm 发表的内容：
既然康托尔三分集中的元素是点，那么按照我的说法，这个集合是不能被构造的啊。
因为如我主帖中所说：如果康托尔三分集的元素是点，那么就会存在这么一个步骤：
存在一种无穷小线段，该线段仅由相邻的三个点构成 ...

你（门外汉），究竟在什么【层次】来讨论问题 ？？？
康托尔集合论，只关心“极限”值的那个结果，并不关心“极限”值的那个过程
过程与结果的关系，你（门外汉）的，能明白吗 ？？？

门外汉

我当然能明白了。
康托尔的意思不就是说：将1条长度为1的线段无限分割，在取极限的情况下可以将该线段分割为0吗？
庄子早就说过了：一尺之（），日取其半，万世不（），不会打字了。
你说是这个道理吗？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
这个过程能完成吗？
如果这个过程不能完成，则不会出现最后的结果：能将1条线段分割为0.
康托尔明明是认为在线段上存在“相邻两点”

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2010/11/15 00:16pm 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2010/11/15 00:08pm 发表的内容：
我当然能明白了。
康托尔的意思不就是说：将1条长度为1的线段无限分割，在取极限的情况下可以将该线段分割为0吗？
庄子早就说过了：一尺之（），日取其半，万世不（），不会打字了。
你说是这个道理吗？
...

“说来说去”说到底，仍然还是：你（门外汉），在【纠缠】极限理论与康托尔集合论

这个过程能完成吗？

数学，尤其是理论数学，并不关心这个完成所需要的多长时间的
只关心是否收敛等

门外汉

所谓的极限理论，就是无穷小等于0吗？
你不知道第二次数学危机因何而起吗？
康托尔居然还犯这样的错误。

elimqiu

所论集合当然是点集。从构造看，它不可能含有线段。但是楼主的离散概念不是现行数学的。康托集不是离散集。
康托集是可数个集合的交。它的存在性没有问题。

门外汉

我只是想知道，究竟是如何能够将一条线段无限分割为一个长度为0的点的？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
请看一下这条结论是不是正确的：
任意两点之间皆有无穷多点。
如果这条结论是正确的，那么康托尔三分集是不能被构造的。因为，无论如何将一条线段三等分删除其中的一部分，那么剩余的部分始终是一个闭区间，也就是[a，b]。
只要是一个闭区间，必然存在两个端点，在两个端点的中间均含有无穷多点。
假使能够将一个闭区间分解为单点，那么这个闭区间则只含有两个端点，中间没有其他的点，或者是中间只有一个点（两者是等价的）。
只有在这种情况下才能将一个闭区间[a，b]分解为两个单点。

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/15 01:50pm 发表的内容：
我只是想知道，究竟是如何能够将一条线段无限分割为一个长度为0的点的？-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在  时添加 -=-=-=-=-
请看一下这条结论是不是正确的：
任意两点之间皆有无穷多点。
如果这条结论是正确的， ...

你（门外汉），仍然没有【区分】这个无穷概念

任意两点之间皆有无穷多点。