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费尔马1

这是网友过目不忘老师的杰作，非常棒。
求：正整数的高次幂数列与正整数的等比数列乘积之和
    Sm=1^m*k^1+2^m*k^2+3^m*k^3+4^m*k^4+...+n^m*k^n

解：当 m=0 时:
    S0=k^1+k^2+k^3+k^4+...+k^n=k(k^n-1)/(k-1)

    当 m=1 时:
    S1=1*k^1+2*k^2+3*k^3+4*k^4+...+n*k^n                 【1】
   kS1=      1*k^2+2*k^3+3*k^4+...+(n-1)*k^n+n*k^(n+1)   【2】
   【2】-【1】：(k-1)S1=-S0+n*k^(n+1)
    即：S1=[-S0+n*k^(n+1)]/(k-1)

    当 m=2 时:
    S2=1^2*k^1+2^2*k^2+3^2*k^3+4^2*k^4+...+n^2*k^n                 【3】
   kS2=        1^2*k^2+2^2*k^3+3^2*k^4+...+(n-1)^2*k^n+n^2*k^(n+1) 【4】
   【4】-【3】：(k-1)S2=-{(1^2-0^2)*k^1+(2^2-1^2)*k^2+(3^2-2^2)*k^3+(4^2-3^2)*k^4+...+[n^2-(n-1)^2]*k^n}+n^2*k^(n+1)
                       =-[(2*1-1)*k^1+(2*2-1)*k^2+(2*3-1)*k^3+(2*4-1)*k^4+...+(2n-1)*k^n]+n^2*k^(n+1)
                       =S0-2S1+n^2*k^(n+1)
    即：S2=[S0-2S1+n^2*k^(n+1)]/(k-1)

    当 m=3 时:
    S3=1^3*k^1+2^3*k^2+3^3*k^3+4^3*k^4+...+n^3*k^n                 【5】
   kS3=        1^3*k^2+2^3*k^3+3^3*k^4+...+(n-1)^3*k^n+n^3*k^(n+1) 【6】
   【6】-【5】：(k-1)S3=-{(1^3-0^3)*k^1+(2^3-1^3)*k^2+(3^3-2^3)*k^3+(4^3-3^3)*k^4+...+[n^3-(n-1)^3]*k^n}+n^3*k^(n+1)
                       =-[(3*1^2-3*1+1)*k^1+(3*2^2-3*2+1)*k^2+(3*3^2-3*3+1)*k^3+(3*4^2-3*4+1)*k^4+...+(3n^2-3n+1)*k^n]+n^2*k^(n+1)
                       =-S0+3S1-3s2+n^3*k^(n+1)
    即：S3=[-S0+3S1-3S2+n^3*k^(n+1)]/(k-1)

    猜测 m=4 时：
    S4=[S0-4S1+6S2-4S3+n^4*k^(n+1)]/(k-1)

总结：
设：Xm=n^m*k^(n+1)
考察分母：
m=0：         S0
m=1：      -S0+X1
m=2：     S0-2S1+X2
m=3：  -S0+3S1-3S2+X3
m=4： S0-4S1+6S2-4S3+X4
考察系数：
m=0：     1
m=1：   -1+1
m=2：   1-2+1
m=3： -1+3-3+1
m=4： 1-4+6-4+1

∴当m=0时，Sm=S0；
  当m>0时，Sm={(-1)^m*Σ<i=0,m-1>[(-1)^i*C(m,i)*Si]+n^m*k^(n+1)}/(k-1)
【注：紧接着Σ后的一对尖括号内，逗号前是写在Σ下边的，逗号后是写在Σ上边的。】