2—边连通3—正则平面图可3—边着色的又一证明方法

雷明85639720

2—边连通3—正则平面图可3—边着色的又一证明方法
雷  明
（二○一六年十月二十五日）

网友“论图1943”朋友指出我用2—边连通的3—正则平面图的线图的色数都是3，来证明2—边连通的3—正则平面图是可3—边着色的办法，还不如直接用2—边连通的3—正则平面图来证明快捷，所以我就想再用2—边连通的3—正则平面图直接来证明一次。
由于2—边连通的3—正则平面图的每个顶点都连有3条边，而相关联的边（连结同一个顶点的边）是不能着同一颜色的，所以每一个顶点所连的边至少要用3种颜色，全图是不是也只用3种颜色就够用了呢，这就需要来进行证明。
由于连结每个顶点的边都用3种颜色，我们首先满足各顶点所连的两条边的两种颜色的要求，那么，剩下的一条边就得用第3种颜色了。如果我们用1和2两种颜色，1—2—1—2—……的，沿某一条道路（即边2—色道路）走下去，且能经过图中所有的顶点，并能使已经过的顶点都保证连结着两种颜色的边，则说明1—2—1边2—色道路都是回路（如图1），且该边2—色回路子图上的边数与图中的顶点数相等。其余的非该边2—色回路上的边，就得用第三种颜色了，而这些边的两端都是连结着那条1—2—1边2—色回路上的顶点，各顶点所连的3条边正好着色完毕。
既然1—2—1—……道路，是由1—2—1边2—色回路构成的子图，那么，回路中1和2两种颜色的边的数量必须是相等的，这就是说着这两种颜色的边的数量，各只能是图的顶点数的一半。正好2—边连通3—正则平面图的顶点数都是偶数，能够满足这一要求。

又由于2—边连通3—正则平面图的边数是顶点数的1.5倍，那么，剩下的0.5倍顶点数的边，就是着第三种颜色的边。也就说明了1—2—1边2—色回路子图以外的第三种颜色的边的数量，也是顶点数的一半。正好三种颜色所使用的次数是相同的，或都说图中三种颜色的边数是相同的。
这就证明了2—边连通3—正则平面图都是可3—边着色的。

雷  明
二○一六年十月二十五日于安

注：此文已于二○一六年十月二十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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