[原创]Steiner—Lehmus定理的简洁证法

ywl

[这个贴子最后由ywl在 2010/11/23 09:22am 第 3 次编辑]

[watermark]　　1840年德国人莱默斯（C.L.Lehmus）发现命题:两内角平分线相等的三角形是等腰三角形。很难用纯儿何方法证明,于是他写信给斯图姆(Sturm),而斯又将问题提供给一些数学家,第一个给出回答的是瑞士几何学家斯坦纳(Steiner)。故人们将这个问题称为“斯坦纳——莱莫斯”定理。继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。一百多年来，人们在探索其简洁直接证法，一直是引人入胜的课题。特别是斯坦纳(Steiner)原证过于复杂，1961年《科学美国人》专栏作家马丁.加德纳（M.Gardner）又推波助澜收到一百多封来函提出不同证法。其中最称简洁的是工程师G.Gilbert和D.Macdonnell的反证法。梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》中介绍了关于该问题的一个三十年代德国人直接的纯几何证法，日本人秋山武太郎在《平面、立体几何学》中对该证法有很高的评价：“今后恐怕难有比这更好的证法了”。所以我对该德国人的证法很钦佩，觉得简直是匪夷所思，很神奇，我也至今认为，到目前还无人能超越。我对该问题研究过多年，得出过很简洁的直接证法，但不是纯几何证法。先把三个适合初、高中学生的简洁直接证明与大家分享。
　　△ABC中，AB=AC,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD=BE。求证AB=AC。
　　证明（一）：分别作AM∥BD.AN∥CE，分别交BC延长线于M、N；令AB=c,AC=b,BDC=a,BD=CE=L,AM=m,AN=n；∠ABC=2α,∠ACB=2β,AE=x,AD=y.
　　由角平分线定理，x=bc/(a+b),y=bc/(a+C),m/n=(a+c)/(a+b)(1)；
　　cos∠ABM+COS∠ABC=0,cos∠ACN+cos∠ACB=0.化简既得
　　m^2=c/a[(a+c)^2-b^2],n^2=b/a[(a+b)^2-c^2)](3).将(3)代入(1)化简既得
　　
　　b=c,命题得证。
　　证明（二）：(b/c)^2=(sin2α/sin2β)^2=[(sinα/sinβ).(cosα/cosβ)]^2；
　　=(y/x)^2.(1+cos2α)/(1+cos2β)(1).
　　(1+cos2α)=[(a+c)^2-b^2]/2ac,(1+cos2β)=[(a+b)^2-c^2]/2ab；X=bc/(a+b),y=bc/(a+c)代入(1)化简既得
　　b=c.命题得证。
　　证明（三）:S△ABD+S△DBC=S△ACE+S△BCE=S△ABC,即
　　(1/2)L(a+c)sinα=(1/2)ac(sin2α)(1),(1/2)L(a+b)sinβ=(1/2)ab(sin2β)(2),(1)/(2)化简既得
　　[ccosα/cosβ]=(ab+bc)/(ac+bc).假设b>c或α>β均得出矛盾。从而命题得证。
　　证法（二）昨日（2010.11.20）刚获得。
　　

denglongshan

楼主最喜欢研究类似的问题。用复数方法证明这条结论时，出现一个四次方程，感到费解。

ywl

   用一般的代数、三角方法都会出现三次或四次方。证法一就是为避免这些运算，适合初中学生理解；证法二主要运用半角变换，避免高次方，不用添加辅助线，适合高中学生理解；证法三也不用添加辅助线，只用一般三角变换，可以说是最简洁的反证法。我们目前看到的反证法都需要添加辅助线。

denglongshan

还可以用角平分线公式和面积公式两种方法证明，由面积公式可以得出sin2αsin（2β+α）=sin2βsin（2α+β）