三角形 ABC 的内心为 I ，外心为 O ，已知 ∠AIO=90°，∠CIO=45°，求 AB：BC：CA

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

我先通过探索，猜测到了答案，然后验证答案符合题目要求。

这样的解答当然不是很令人满意，希望看到更好的解答。

boob

∠AIC=∠AIO+∠CIO=135度，∠ABC=90度

IO=sin(A/2)*AO
IO/sin(C/2)=CO/sin∠CIO，IO=√2sin(C/2)*AO

利用
sin(A/2)=√2sin(C/2)
sin(A/2+C/2)=1/√2
可得
tan(A/2)=1/2

设ID垂直AB於D
ID=r，AD=2r，AB=3r
IA=√5r，IO=(√5/2)r，AO=(5/2)r，CA=5r
BC=4r

AB：BC：CA=3：4：5

luyuanhong

谢谢楼上 boob 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。