[分享]又一个不等式，呵呵！

awei

[这个贴子最后由awei在 2010/11/22 11:26pm 第 2 次编辑]

elimqiu

awei

下面引用由elimqiu在 2010/11/22 04:49pm 发表的内容：

[color=#0000FF]谢谢老师的回贴，您的不等式对于我的确有些难度，呵呵！

elimqiu

我上面的证明的第一步是对原不等式两边同乘以正数 bd, 这不会改变不等式的方向。其余的步骤就简单了。 我们来看一个有趣的式子： f(t) = (1-t)X + tY = X + t(Y-X) 显然 f(0) = X, f(1) = Y 并且当 0 < t < 1 时 f(t) 介于 X 和 Y 之间。 令 X = c/d, Y = a/b, t = b/(b+d), 那么 0

awei

[这个贴子最后由awei在 2010/11/23 01:24am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/11/22 06:07pm 发表的内容：
我上面的证明的第一步是对原不等式两边同乘以正数 bd, 这不会改变不等式的方向。其余的步骤就简单了。
我们来看一个有趣的式子：
f(t) = (1-t)X + tY = X + t(Y-X)
显然 f(0) = X, f(1) = Y 并且当 0 < t < ...

[color=&#35;0000FF]我的题很简单，只是自己觉得蛮有意思的。您的回答很清晰，我说的是您的那道不等式题，a^b+b^a>1,我想了半天也没有弄出来。祝老师晚安。

elimqiu

您的这个不等式表明了有理数的稠密性：二有理数之间必有有理数。

awei

下面引用由elimqiu在 2010/11/24 03:35am 发表的内容：
您的这个不等式表明了有理数的稠密性：二有理数之间必有有理数。

[color=&#35;0000FF]是不是也说明了二无理数之间也必有无理数？

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2010/11/24 08:50pm 第 2 次编辑]

下面引用由awei在 2010/11/24 03:59pm 发表的内容：
是不是也说明了二无理数之间也必有无理数？

√2/2≈0.707,                   它是无理数
(2-√2)/18≈0.034               它是无理数
而[√2+(2-√2)]/(2+18)=2/20=0.1.它却是有理数
换言之.此“awei分数不等式小定理”不能够直接说明"二无理数之间必有无理数"

awei

下面引用由drc2000在 2010/11/24 08:18pm 发表的内容：
√2/2≈0.707,                   它是无理数
(2-√2)/18≈0.034               它是无理数
而/(2+18)=2/20=0.1.它却是有理数
换言之.此“awei分数不等式小定理”不能够直接说明"二无理数之间必有无理数"

[color=&#35;0000FF] √2/2 > 2/20 >(2-√2)/18
说明了两无理数之间有有理数，
但当 √2/2 > 2/20，
根据小定理：
那么 √2/2 >(√2+2)/(2+20)> 2/20,
即√2/2 >(√2+2)/(2+20)>(2-√2)/18
而(√2+2)/(2+20)为无理数。
但是也能说明二无理数之间有无理数。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2010/11/24 10:31pm 第 1 次编辑]

下面引用由awei在 2010/11/24 09:02pm 发表的内容：
√2/2 > 2/20 >(2-√2)/18
说明了两无理数之间有有理数，
但当 √2/2 > 2/20，
根据小定理：
那么 √2/2 >(√2+2)/(2+20)> 2/20,
即√2/2 >(√2+2)/(2+20)>(2-√2)/18
而(√2+2)/(2+20)为无理数。
但是也能说明二无理数之间有无理数。

在数学里,
肯定一个问题,需要肯定所有的情形下均成立.
而否定一个问题,只需要存在一个反例就可以了.
比如"素数是奇数"这句话,
3是素数,5是素数,7是素数,....即使举了几百个这样的例子,都不能肯定它的结论.
而"2这个素数不是奇数",只需要一个例子就可以否定这句话
明白了么?
[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 drc2000 在 时添加 -=-=-=-=-
另外,我这里指出的反例,只是说明此“awei...定理”不能够直接说明"二无理数之间必有无理数".
就好象我们不能够直接利用"三角形内角和为180°"来说明"正方形对角线垂直且相等"的道理一样.
并不是说没有其他方法可以说明"二无理数之间必有无理数".
"无理数的稠密性质",你若要解决此问题,恐怕需要用到实数的极限理论或者戴狄金的分割理论,恐怕不是简单的代数分式不等式可以解决的.
建议你去看看几本前苏联的数学分析书的前几章.