平面（球面）上可嵌入完全图的顶点数不大于4——四色猜测证明方法之三

雷明85639720

平面（球面）上可嵌入完全图的顶点数不大于4
——四色猜测证明方法之三
雷  明
（二○一六年十月三十日）

1、多阶定向曲面上可嵌入最大完全图的顶点数
任何亏格的曲面上都存在一个不但可嵌入其中，顶点数最多的完全图Kv，且图中又不存在交叉边的情况，这就是可嵌入该亏格曲面上最大的（顶点数最多的）完全图。
已知顶点数v≥3的图都有3f≤2e（f是面数，e是边数）的关系，把f≤2e/3代入多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）（n是图的亏格）得
    e≤3v－6（1－n）（v≥3）                      （1）
（1）式就是多阶曲面上图中顶点与边的关系。当图是完全图时，有e＝v（v－1）/2的关系，把e＝v（v－1）/2代入（1）式得
v（v－1）/2＝3v－6（1－n）
v2－7v＋12（1－n）≤0                          （2）
解这个一元二次不等式（2），得其正根是
v≤（7＋√（1＋48n））/2  （v≥3）
由于顶点数v必须是整数，所以上式还得向下取整，得
v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （v≥3）       （3）
（3）式中暂用＜ ＞表示其中的数字向下取整。（3）式中的v就是可嵌入亏格是n的曲面上的完全图的顶点数。
    2、平面图中可嵌入的最大完全图的顶点数
平面图的亏格是0，把n＝0代入（3）式中，得
v≤4                                        （4）
（4）式就是可嵌入亏格为0的平面上的完全图的顶点数。
实际中，K1，K2，K3，K4的顶点数都不大于4，都可以嵌入平面上，而K5的顶点数是大于4的，K5就是一个非平面图，不可嵌入平面上。
公式（4）也可以直接从平面图的边与顶点的关系式e≤3v－6 （v≥3）得来。把完全图中边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入上式得
v2－7v＋12≤0  （v≥3）                                  （5）
解（5）式这个一元二次不等式得
v1≤4和v2≤3                                                   （6）
由于v2≤3包含于 v1≤4中，所以实际只有一个根
        v1≤4                                        （6＇）
与上面的（4）式完全同。
3、四色猜测的证明
完全图着色，所需颜色数就是其顶点数，把（3）式中的顶点数v换成颜色数γ，则（3）式变成
γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （v≥3）       （7）
把n＝0代入（7）式中，得
    γ≤4                                        （8）
（8）式就是平面上完全图的色数，是不大于4的。
已知平面图的色数就是其最小完全同态的顶点数，而平面图的最小完全同态的顶点数也是不大于4的（见《平面图最小完全同态的顶点数是不大于4的》，网址是：），所以（8）式也就是任意平面图的色数公式。因为γ≤4，这也就证明了平面图四色猜测是正确的。
极大图是平面图中的一种，当然（8）式也一定适合于极大图，而极大图的顶点着色就相当于其对偶图面的着色，其对偶图正好就是3—正则的平面图，即是地图，因此也就证明了地图四色猜测是正确的。
四色猜测得到证明是正确的。

雷  明
二○一六年十月三十日于长安

注：此文已于二○一六年十月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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