几何难题二

boob

ABCD是正方形，E是BC上一点，直线AE和直线DC交於F，
∠PBF是直角，直线DE和BF交於G和BP交於P
证明：(1)CG和EF垂直 (2)∠EOF=∠BPD

ccmmjj

我先证第一个吧。
如图；标记BD与AF的交点为I，三角形BDF中，BC是高，DG、FA与BC三线共点，利用赛瓦定理，可以证明∠BCI＝∠BCG。（这个证明不难，可以从各种教科书中找到，故从略。）因为BD是正方形的对称轴，所以∠BAI＝∠BCI，所以∠BAI＝∠BCG，所以∠CHE＝∠ABE＝90度。故而)CG和EF垂直。证毕。

ccmmjj

没人做，只好我继续。第二小题用纯几何法有点难度，但结合用三角法却很简单。

证明：如图，作边的垂线OS、OT。垂足为S、T。容易推出∠BPE＝∠ABP－∠CDE，而∠ABP＝∠FBC。    ①   
不妨假设正方形边长为2，CE＝1-t（-1<t<1）,则通过相似比有CF＝2（1-t）/(1+t)。于是tan∠CBF=(1-t)/(1+t)
而tan∠EOT=t,tan∠TOC=1,根据和（差）角公式tan∠EOC=(1-t)/(1+t),比较得∠EOC=∠FBC.        ②
同样的方法，tan∠SOF＝SC+CF＝(3-t)/(1+t),tan∠SOC=1由差角公式tan∠COF=[(3-t)/(1+t)-1]/[1+(3-t)/(1+t)]=[2（1-t）/(1+t)]*[(1+t)/4]=(1-t)/2
比较tan∠EDC=CE/CD=(1-t)/2得出∠COF＝∠CDE。    ③
综合①   ②   ③ ∠BPE＝∠ABP－∠CDE＝∠FBC－∠CDE＝∠EOC－∠COF＝∠EOF。 证毕

luyuanhong

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boob

感谢ccmmjj兄

以下是第(2)小题的纯几何证法

∠CBN=∠CON
=∠EOF+∠COF
=∠EOF+∠EDF

(90度-∠BPD)+(90度-∠EDF)
=∠BGE+∠BEG
=180度-∠CBN
=180度-∠EOF-∠EDF

∠EOF=∠BPD

luyuanhong

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luyuanhong

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