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[分享]可数集必为0测集,所以连续统不可数。

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发表于 2010-12-11 00:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
假定实数 a < b, 如果 [a,b] 是可数的,其元素可以排成一列 x(1),x(2),x(3),…
令 L = (b-a)/k, 那么 x(n) 是区间 I(n) = (x(n)-L2^(-n-1),x(n)+L2^(-n-1)) 的中点。
于是区间族 {I(n)} 覆盖了 [a,b]. 但 I(n) 的长度是 L2^(-n),所以应该有
0 < b-a ≤ L(1/2+1/4+1/8+…)=L=(b-a)/k → 0 (k → ∞)
这是荒谬的.所以[a,b]不可数。
这个简单的演示一方面证明了连续统不可数,另一方面证明了任意可数集必是0测集。
=========================================================================
以下的测度特指一维勒贝格测度。
简单说,测度是实数的一个子集族 M(R) 到 [0,∞] 的映射 m, 满足下面两条:
(1) m([a,b]) = b-a      (-∞< a < b < ∞)
(2)可数可加性:
     如果 {Ej} 是  M(R) 中两两不交的元素(R 的子集)的序列, 那么 m(∪Ej)=∑m(Ej)
     即 m(E1∪E2∪E3∪…)=m(E1)+m(E2)+m(E3)+…
关于m(R),我们指出以下性质:
(1) 任何区间都是 M(R) 的元素;
(2) M(R) 中可数个元素的并还是 M(R) 的元素
(3) M(R) 中任意二元素的差还是 M(R) 的元素
由此可推知 M(R) 也对集合的交乃至可数交封闭,每个单点集都是 M(R) 的元素。
一维勒贝格测度的理论就是构造并论证 M(R) 以及映射 m 满足上述性质,而上述性质自洽的理论。
M(R)的元素叫作勒贝格可测集,而 M(R) 是勒贝格可测集全体。
m(E) 叫作集合 E ∈ M(R) 的测度。0测集就是测度为0的集合。显然单点集皆为0测集。
可数无穷多个0测集的并显然还是0测集。
综上,勒贝格测度是朴素的长度概念的数学严格化和集论延拓。
[0,1] 是其单点子集的并 (也就是通常所说的线段由点构成),但[0,1]的测度1=m([0,1])
却不能表为其单点子集的测度的和。原因很简单,不可数无穷多个数的和是无法定义的。
换句话说 0 = 0+0+0+… 至多意味着可数无穷个0测集的并还是0测集。但我们已经证明了区间
不是可数无穷个0测集的并。
“线段是点构成的,线段的测度不等于‘点的测度之和’”这件事情毕竟还是难以消化的。
原因很简单,我们的直觉总是认为整体是部分之和。岂不知整体往往大于部分之和,而且
部分不总是可和的!

 楼主| 发表于 2010-12-11 00:13 | 显示全部楼层

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上贴也可以认为是【长度是怎样炼成的】的一种概括。
发表于 2010-12-11 07:34 | 显示全部楼层

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   注意!
        纯粹数学是研究空间形的量(数)的科学!
        点不是形,当然就不是“数”,也就必然没有任何量,因此是0!
        点只是空间形所在的位置,(位数,位序,位项)因此点没有大小,形状!
        线是构成空间形的边缘,没有宽窄,粗细,只有基本单位的量,这个量要么是比例关系;要么是结构关系!比例关系是倍数关系;结构关系是构造关系之间的量与量之间的关系!
     在基本单位圆中: R=√2n,则r=√2n/2
        1.比例关系:
                    R:r=√2n:√2n/2=2:1
        人们说直径是半径的2倍!
        很少说直径比半径长?(非要说,也不能堵人家的嘴?)
       2.结构关系:
            hˇ2=rˇ2+rˇ2
                _____
            h=√2rˇ2=√2r.
      若比例关系:
           R:h=2r:√2r=2:√2
           Rˇ2:hˇ2=2ˇ2:(√2)ˇ2=4:2=2:1
      这就是外切正方形的面积是内接正方形面积的两倍!
     空间形的量就是这么定义的!
      1.基本单位  h=√n=1';,2';,3';,,,,
      2.单    位  hˇ2=(√n)ˇ2=n"
复数的实部和虚部分别是基本单位,只是虚部与实部不在同一个数轴(不在一个方向),但是在一个平面!
                _________
     「a+ib」=√aˇ2+bˇ2-------------------基本单位
      {「a+ib」}ˇ2=aˇ2+bˇ2---------------单位。
    当仅当 a=√Pn,b=√Qn时,
    则复数绝对值的平方就证明了哥德巴赫猜想成立!
     aˇ2+bˇ2=(√Pn)ˇ2+(√Qn)ˇ2=Pn+Qn=2n".
    显然单位论是纯粹数学的基础理论----元数学---证明论![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 时添加 -=-=-=-=-
在纯粹数学中哪来的长度呀?
只有在应用数学中才有长度,宽度,重量,质量,容积,浓度,克分子浓度,密度,酸碱度,温度,,,
 楼主| 发表于 2010-12-11 07:44 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由elimqiu在 2010/12/11 01:00am 第 1 次编辑]

纯粹数学当然可以定义没有量纲的长度,测度等等。例如定义 m([a,b])=b-a 为区间 [a,b] 的长度等等。 正像纯粹数学里有单位但没有重量单位一样。
楼上的纯粹数学的概念太过狭隘,根本不能成为数学的基础。
另外,所称的哥猜不过是关于哥猜的再猜而已。
发表于 2010-12-11 09:46 | 显示全部楼层

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>>>所称的哥猜不过是关于哥猜的再猜而已。<<< 老师正确! 因为没经过严密细致,无懈可击的证明!
发表于 2010-12-11 11:08 | 显示全部楼层

[分享]可数集必为0测集,所以连续统不可数。

下面引用由elimqiu2010/12/11 00:44am 发表的内容:
纯粹数学当然可以定义没有量纲的长度,测度等等。例如定义 m()=b-a 为区间 的长度等等。 正像纯粹数学里有单位但没有重量单位一样。
楼上的纯粹数学的概念太过狭隘,根本不能成为数学的基础。
另外,所称的哥猜 ...
一.中华单位系
  1.中华单位群
      N"=[(ApNp+48)ˇ1/2-6]ˇ2
1)基本单位群:
     (1) N';=(ApNp+48)ˇ1/2-6
         N';=H=√n,   n=1,2,3,,,
   前几项基本单位是:
      √1,√2,√3,,,
  或    1';  2';   3';,,,
   2)单位群:
     N"=[(ApNp+48)ˇ1/2-6]ˇ2
  前几个单位是:
      (√1)ˇ2,(√2)ˇ2,(√3)ˇ2,,,
或       1"         2"           3",,,,,
   3)分数单位群:
    1/2
    1/3 2/3
    1/4 2/4 3/4
    1/5 2/5 3/5 4/5
     *   *   *   *   *
     *   *   *   *   *   *
     *   *   *   *   *   *   *
    1/n 2/n 3/n 4/n 5/n 6/n 7/n,,,(n-1)/n.
2.中华单位系-----银河数。
   Ω(N)=±[(ApNp+48)ˇ1/2-6]ˇ±n,  n=1,2,3,,,.
       老师扩充之后不知道中华单位系是否还狭隘?
                                                   谢谢![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 时添加 -=-=-=-=-
俺探讨的是结构数学,以及数学的结构!----抽象数学!
   不知您说的数学是什么?
 楼主| 发表于 2010-12-11 11:15 | 显示全部楼层

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还没有明白数学是什么。数学和算术的区别?
发表于 2010-12-11 11:17 | 显示全部楼层

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下面引用由elimqiu2010/12/11 00:07am 发表的内容: 假定实数 a < b, 如果 是可数的,其元素可以排成一列 x(1),x(2),x(3),…
令 L = (b-a)/k, 那么 x(n) 是区间 I(n) = (x(n)-L2^(-n-1),x(n)+L2^(-n-1)) 的中点。
于是区间族 {I(n)} 覆盖了. 但 I(n) 的长 ...
无赖el的““线段是点构成的,线段的测度不等于‘点的测度之和’”这件事情毕竟还是难以消化的。原因很简单,我们的直觉总是认为整体是部分之和。岂不知整体往往大于部分之和,而且部分不总是可和的!”完全是错话!废话! 如果承认【点的测度是0测度】与【点的长度是0长度】同义,【线段的测度】与【线段的长度】同义,并且承认el曾经说过点的测度为0,就不必故意说得玄而又玄!你上述的话其实就是: 【线段是点构成的,线段的长度不等于长度为0的点之和,这件事情毕竟是难以消化的。原因很简单,我们的直觉总是认为整体是部分之和。岂不知整体往往大于部分之和,而且部分不总是可和的!】 把无赖el的废话,剥去欲盖弥彰的外衣,就是以下4句话: (1)有长度的线段是由长度为0的点构成的。 (2)线段的长度不等于0长度的点之和。与(1)矛盾无妨。 (3)我们直觉认为整体是部分之和。 (4)玄而又玄的常人难以消化的深奥玄觉认为,整体往往大于部分之和,并且往往不是相加出来的不可和的东西。因此(3)只是错觉而已。
发表于 2010-12-11 11:29 | 显示全部楼层

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下面引用由elimqiu2010/12/11 04:15am 发表的内容:
还没有明白数学是什么。数学和算术的区别?
     俺探讨的是关于空间形的量的数学!
     不是康托的“集合论”?
      
 楼主| 发表于 2010-12-11 11:46 | 显示全部楼层

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下面引用由申一言2010/12/11 11:29am 发表的内容:
     俺探讨的是关于空间形的量的数学!
     不是康托的“集合论”?
数学需要处理序结构,代数结构,拓扑结构。你探讨的东西能成为这些东西的基础吗?
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