2 康托儿无穷集合理论的问题与矛盾

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2 康托儿无穷集合理论的问题与矛盾
2.1无穷集合的提出
以自然数集合为例，这个集合的来源是人造的自然数的记数法则。使用阿拉伯数字及十进位自然数记数法则，依照从小到大的顺序，它们可以书写如下：
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……，n，……            （1）
式（1）中的符号“……”不仅是个省略号，它还表示自然数数列(1)是永远写不完的无有穷尽、无有终了（即无有最后元素）、用不完的、单调增大着的、无上界的、无有穷尽意义下的符号串。这个符号串可以简写为{n}，并称它为基本的无穷数列，其中n叫做数列的通项，它可以依次取任意自然数。无穷数列（1）中的第一个符号表达了空集的元素个数，第二个符号表达了单元集合的元素个数；第三个符号……。在此需要指出：这个无穷数列的提出不需要事先有自然数集合的定义与概念。其次，把（1）式中的所有符号看作是一个集合时，这个集合中的元素不是能列举完毕的，其元素个数是无有穷尽的、无法用自然数表出的集合；由于这个集合的元素个数是无有穷尽的，可以称它是无穷集合并记作N。这是数学理论理论中遇到的第一个无穷集合。根据基本无穷数列，使用一一对应的法则 ，可以得到无穷数列{0，1，4，9，……， ,……}，类似于上述讨论，也可以称这个数列中的数的集合为无穷集合。上述两个无穷集合的提出都依赖于一个“可以无限延续下去的制作集合元素的法则”，有理数集合、实数集合也是如此[3]（其具体叙述参看文献[3]）。
   2.2 无穷集合与有穷集合之间的不同性质
关于这种无穷集合，王宪钧《数理逻辑引论》中讲到：“实无穷论者认为，无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”[4] 仔细分析起来，无穷集合都具有其元素永远不能列举完毕的性质，因此实无穷论者对无穷集合提出的的形容词“完成的”是违反事实的、不能容许的。这是无穷集合的与有穷集合不同的第一个性质。至于实无穷论者的对无穷集合的形容词“现实的、存在的”根据不同的视角可以提出；也不可以提出。事实上，在承认数列（1）可以无限延续的观点下，可以说这个无穷集合是现实的、存在的但不能完成的理想无穷集合；但若考虑到任何有限时间内不能做到无限延续的工作时，也可以说无穷集合不是现实的、存在的集合，这是无穷集合与有穷集合不同的第二个性质，这个性质也叫做无穷集合辩证的性质。对此，希尔伯特就说过“感觉经验和物理世界里没有无穷小、无穷大和无穷集合”、“由于无穷不能在经验中直接验证，称之为理想元素”的话。
在无穷集合研究中，人们发现无穷集合具有与自己的真子集一一对应。这是无穷集合与有穷集合不同的第三个重要性质。根据这个性质伽利略提出了自然数集合 与其子集合 哪一个的元素更多一些呢?的问题。对于这个问题，张锦文在文献[1]19页说到：“集合论的创始人数学家康托儿……给出了度量集合的基本概念：一一对应，从而正确地回答了上述（伽利略）问题。也就是说：如果两个集合之间能够建立一一对应，就叫它们的个数是相等的”。但认真地，结合实践来看，康托儿的 这种“度量集合概念：一一对应”法则只是对有穷集合才成立的，但对无穷集合显然是不成立的；事实上，如果承认这种说法，就造成了违背“全体大于部分”的欧几里得公理的谬论。这是无穷集合与有穷集合不同的第四个性质。
文献[1]在介绍了康托儿（G.Cantor）的这个对无穷集合不成立度量概念之后，文献[1]又介绍了康托儿的序数与基数理论。这种理论是有问题的。问题1：这种理论使用了康托儿的“无穷集合是完成了的整体”违背事实的观点，提出举了自然数集合N是一个无穷序数 ；接着又提出 的无穷基数，问题2：这个理论中的“无穷基数 大于自然数集合中的一切自然数”的说法，违背了“自然数集合中自然数的无界性”。同理，在实数集合也不是完成了的意义下无穷集合的意义下，无穷基数 也是不能提出的；符号  也都是不能提出表达无穷基数的符号，这是无穷集合与有穷集合不同的第五个性质。对无穷集合必须知道：它们的元素个数是无有穷尽的，对它们不能提出“集合基数”的问题，这样一来，连续统假设的大难题就不存在了。我解决这个大难题的叙述, 可能现在集合论研究者不支持，但从方法上讲，我的解决方法与他们解决罗素悖论、康托儿悖论的方法是一致的。事实上，文献[1]69页讲到：“由于找不到一个集合把T 给包起来，无法证明它是一个集合，……由于无法证明存在一集合u，它以所有集合为元素”，所以罗素悖伦、康托儿悖论就都不存在了。我们现在消除连续统假设的方法也是根据自然数集合、实数集合构不成解决的。上述讨论也说明：康托儿的集合理论是：存在着“既承认无穷是无有穷尽的延续下去的不能完成性质，又承认无限延续可以完成性质”的不能容许的有矛盾的理论。
2.3  ZFC形式公理系统的问题
前两小节在深入联系实践的方法下，说明了康托儿实无穷观点的问题。从历史上看，对于“完成了的实无穷观点，芝诺、亚里斯多德与布劳维尔（L.E.J. Brouwer）都提出过反对意见。康托儿集合理论提出之后，又发生了叫做第三次数学危机的罗素悖论、康托儿悖论。针对布劳维尔的意见，希尔伯特虽然在他的计划中虽然提出不涉及实无穷的有穷主义（这种做法是尊重实践的正确做法），但希尔伯特又提出：使用实无穷观点“保卫古典数学（包括康托儿集合论）”的形式化反案。哥德尔不完全定理也说明希尔伯特的既有完备性又有相容性的形式化方案无法实现。但近代的许多研究者（包括哥德尔）仍然在追求这个方案的实现。ZFC 形式公理系统就是在这个目的下提出的。但是，这个公理体系也是有问题的、有矛盾的。事实上，第一，无限公理的形式语言 是需要用普通语言解释的，在汪芳庭著《数学基础》中的解释中说道“这个最小的归纳集是我们在集论中的第一个实无限，有了无限公理，集论便进入实无限领域，……”[5]。这个解释就存在着上述的实无穷论者的不能容许的矛盾问题；第二，对于选择公理，存在着“分球奇论”的疑问，第三，这个公理体系没有解决希尔伯特提出的连续统假设假设问题，第四，在这个公理体系下得到的《非标准分析》中超实数系已经50多年了，但找不到在现实问题中独到的应用价值；哥德尔在《非标准分析》再版序言中说到“非标准分析将会成为未来的数学分析”，但几十年来的实践说明这是行不通的。