大圆和小圆的点数一样多吗？

fm1134

       某人进行打靶试验，靶子为由两个同心圆OA和OB组成的圆面，半径│OA│＜半径│
OB│。设每次均能击中靶子，且击中靶子上每一点的机会均等。设事件A=“击中圆OA”，事
件B=“击中圆OB”，则易知P(A)＜P(B)。
       另一方面，按照康托的集合论观点，圆OA和圆OB上点的个数是一样多的，则由于击
中靶子上每一点的机会都是相等的（已知的前提条件），则可以推出P(A)=P(B)的结论来。
这与前面P(A)＜P(B)的结论发生了矛盾。
       该如何解释这个矛盾呢？

ygq的马甲

我的【理解】是，这是不同【层次】的东西
1、按照康托的集合论观点，圆OA和圆OB上点的个数是一样多的，
=======> 这是从构造、构成的角度来说的，大圆和小圆的构造是一样的
2、靶子为由两个同心圆OA和OB组成的圆面，半径│OA│＜半径│OB│。
=======> 这是从结果、外部、表面的角度来说的
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

从构造、构成的角度来说的，大人与小孩子是一样的

fm1134

下面引用由ygq的马甲在 2010/12/13 08:42am 发表的内容：
我的【理解】是，这是不同【层次】的东西
1、按照康托的集合论观点，圆OA和圆OB上点的个数是一样多的，
=======> 这是从构造、构成的角度来说的，大圆和小圆的构造是一样的
2、靶子为由两个同心圆OA和OB组成　...

从概率论的角度来看，击中了靶子上坐标为(x0,y0)的那个位置A，就称之为击中了靶子上的
某一点A；而从康托集合论的角度来看，靶子上某一点A无非就是指同心圆面上具有坐标为
(x0,y0)的那个位置，二者完全是一回事。看不出有什么“层次”上的不同。

说说

这是求概率的问题，只考虑它的面积。不存在其他的，应该以常规思维考虑，不可死钻牛角

ygq的马甲

下面引用由fm1134在 2010/12/13 00:50pm 发表的内容：
从概率论的角度来看，击中了靶子上坐标为(x0,y0)的那个位置A，就称之为击中了靶子上的
某一点A；而从康托集合论的角度来看，靶子上某一点A无非就是指同心圆面上具有坐标为
(x0,y0)的那个位置，二者完全是一回事　...

康托集合论，并不是研究这种的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/12/15 00:43pm 第 1 次编辑]

   在 Cantor 的集合论中，提出这样的定义：

对于两个点集 A 与 B ，如果可以找到一种方法，使得 A 中的点与 B 中的点，
建立一一对应，就认为点集 A 与 B 的势相等，或者说，A 与 B 有相同的基数。

    许多人常常把“A 与 B 的势相等”、“A 与 B 有相同的基数”说成是
“A 与 B 有相同的点数”、“A 与 B 中点数一样多”。

    其实，这种说法，从严格的数学来看，是非常不规范的，是容易引起误会的。

    Cantor 的定义，其实只是一种点集的分类方法。
    按照这种定义，“数轴上全体整数点的集合”“数轴上全体偶数点的集合”
“数轴上全体奇数点的集合”“数轴上全体有理数点的集合”都属于同一类，它们
的基数都是“阿列夫0”。
    属于同一类的点集，基数相同，但并不意味着“点数一样多”。明明偶数只是
整数中的一部分，怎么会偶数点集合中的点数与整数点集合中的点数“一样多”呢？
明明整数只是有理数中的一部分，怎么会整数点集合中的点数与有理数点集合中的
点数“一样多”呢？
    同样，按照 Cantor 定义，“一条线段上全体点的集合”“一条直线上全体点的
集合”“一个正方形内全体点的集合”“一个圆内全体点的集合”“一个平面上全体
点的集合”“一个球内全体点的集合”也都属于同一类，它们的基数都是“阿列夫”。
    这些点集，虽然属于同一类，但并不意味着“点数一样多”，明明线段只是直线
中的一部分，怎么会线段上的点数与直线上的点数“一样多”呢？明明正方形只是平
面中的一部分，怎么会正方形内的点数与平面上的点数“一样多”呢？

    所以，把两个集合“有相同的基数”，说成是“点数一样多”，其实是不妥当的，
至少是不规范的，很容易引起误会，我们最好不要这样说，更不应该按照这种说法去
作推理、证明。

elimqiu

把基数当作集合元素计数在无穷情况的推广，说基数就是计数的延拓，说基数大就是点数多是可以的，但是一旦这么界定“点数”，就要始终用它来处理点的多少问题。而不是有多重的多少标准。
一般认为，面积，概率反映的不是点，事件的多少而是它们的分布情况，它们是不同的测度。
(0,1) 与 (0,∞) 基数相同，你可以说它们的点的个数相同，但点的分布不同。
康托三分集的测度等于0，基数却与 (0,1) 的基数相同。道理也是一样，测度那东西反映的不是点的多少，而是点的分布（以及相应的赋值）

hxl268

许多数学家都是这样说的，“点数一样多”。