无尽小数0.333……的一个争论

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余元希等三人著《初等代数研究》上册80页 例三给出了 所有循环小数是分数的证明。对于   0.333……=1/3    来讲
他们的证明可以叙述如下：  先设这个无尽小数等于定数λ，得等式λ=0.333……后，两端乘10，得到等式
    10λ=3+0.333……      （L）
记这个等式右端的0.333……也是λ。于是得等式
        10λ=3+λ            （M）
解等式（M）就得λ=1/3=0.333……。但是认真分析一下，这个代数方程的解体过程有问题：第一，这个无尽循环小数本来不是定数，不能把它看作定数使用代数方程去求解（因为：代数方程中未知数必须是定数）；第二，当把这个无尽小数看作定数时，0.333……中的3的个数必须是定数，这时，等式（L）右端的0.333……中的3的个数比原来的0.333…… 中的3的个数少一个。所以等式（M）右端的λ比左端的λ小，两个λ不一样，这种解题方法违反形式逻辑中的同一律，所以这个代数方程的结论是错误的。
对此，有人反对说: “不违反同一律，因为：无穷减一仍是无穷”  ，对此 我反对说：无穷减1的无穷与原有的无穷不同。对此，还可以用模型论中的有限性原理说明。这个原理指出：设 K是一个涉及无穷的语句集，且 K 的每一有限子集都是相容的的，则 K 是相容的。由于一个数减1与 原有的数不同的语句对每一有限数 是成立的，所以对无穷也成立。不过对模型论的这个原理也是需要研究的。 最根本的问题是： 实践是检验真理的一个重要标准。 由于无尽小数具有写不到底性质，所以它不能被看作定数，对这个无尽小数还需要寻找它的实用意义，从使用上讲：这个写不到底的无尽小数无法被应用，能用的是无穷数列中的  0.3，0.33，0.333，…… 有尽小数，所以我说：无尽小数0.333……是这个数列的简写，这个数列的极限是 1/3，但这个无尽小数不等于1/3。
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