芝诺悖论与小号悖论、牙签长度问题的解决方法

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芝诺的二分法悖论说的是：“由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体需要在有限时间内经过无限多点，这是不可能的。” 芝诺的“阿基里斯追不上乌龟”的悖论说的是：乌龟在前面，因此阿基里斯必须首先跑到乌龟最初的位置；但在这段时间里，乌龟已前进了一段距离；于是阿基里斯又必须再跑完这段距离。照此推论下去，阿基里斯只能接近乌龟，但永远追不上乌龟。从百度网上孙逐明《芝诺悖论与东西方时空观》中也可以看到以下的论述。“芝诺悖论是西方连续时空观的产物。”这个悖论“诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点。”“如果时空是由离散的时段、空间粒子组成，那么阿基里斯不可能追不上乌龟。”这说明：芝诺这个悖论的原意不是为了得出“阿基里斯不可能追不上乌龟”的结论，而是为了诘难“时空无限可分性”的观点。从芝诺悖论的这个愿意上讲，芝诺的论述是正确的，只要承认笔者的“时空的无限可分性是一种达不到的理想，完成了的实无穷观点违背实践”的认识，阿基里斯就追上乌龟了。亚里斯多德（ARISTOTLE）研究了芝诺悖论，从《非标准分析》最后一节，可以看到：“亚里斯多德在他的许多著作中曾讨论这个问题，他抛弃了（完成了的）实无限而接受了潜在的增长着的无限的概念”。
关于托里拆利（Torricelli）小号悖论，即曲线y=1/x, x>1, 绕x轴旋转一周的曲面体积等于π，而曲面面积为无穷大的悖论问题。产生这个悖论的原因在于：认为小号是无穷长；在于这个计算是上限为无穷大的广义积分。根据：笔者的 公理1.10，无穷大自然数与无穷大实数都是不存在的概念，这个无穷长小号是不存在的，这个积分的上限是一个数列的极限，而这个极限又是现实世界中不存在理想事物。所以，这个悖论就不存在了。当小号长是9，即f(x)被定义在区间[1,10]上时，这个旋转体的表面积是2π×ln10；旋转体的体积是9/10 ×π；小号长也可以是10，或100，一万，……，但不能无穷大（因为无穷大不是数）。
有人提出：牙签长度是不是无理数的问题，笔者的回答是：只要根据需要，量出它的足够准近似长度，并使用有尽小数表示这个长度就行了，不需讨论它是不是无理数的问题。