素数论的探讨前景

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      素数论的探讨前景
    下面这句话的内情，欢迎介绍和探讨。
   “随机厄密矩阵本征值的对关联函数正是我们在 第十六节 中介绍过的，
Montgomery 所猜测的 Riemann ζ 函数非平凡零点的对关联函数！”这句话摘自
下面网文。
  “对于一个量子体系， 能级分布是在理论与观测上都极其重要的性质。 这也
是随机矩阵理论中物理学家们最感兴趣的东西之一。 物理学家所说的能级用数学
术语来说就是哈密顿量的本征值。 那么随机厄密矩阵的本征值是怎样分布的呢？
分析表明， 一个 N 阶随机厄密矩阵的本征值分布密度为：
P(λ1, ... , λN) = C exp[-Σiλi2] Πj>k(λj-λk)2
其中 λ1, ... , λN 为本征值， C 为归一化常数。
通过对这一分布密度的积分， 我们可以计算出随机厄密矩阵本征值的各种关联函
数。 但是这些关联函数的表观复杂程度与本征值的平均间距有很大关系， 因此
我们要先对本征值做一点处理， 以便简化结果。 这一处理所依据的是 Wigner
曾经证明过的一个结果， 那就是当矩阵阶数 N→∞ 时， n 阶随机厄密矩阵的本
征值趋向于区间 [-2(2n)1/2, 2(2n)1/2] 上的半圆状分布， 即：
P(λ) dλ = (8n-λ2)1/2 dλ/4π
其中 P(λ) dλ 为区间 (λ, λ+dλ) 上的本征值个数。 这一规律被称为
Wigner 半圆律 (Wigner Semicircle Law)。 利用这一规律， 我们可以对本征值
做一个标度变换， 引进：
μ = λ(8n-λ2)1/2/4π
可以证明 (请读者自己证明)， 这一变换就象我们在 第十六节 中对 Riemann ζ
函数零点虚部所做的处理那样， 将本征值的间距归一化为： Δμ~1。 在这种间
距归一化的本征值下， 关联函数的形式变得相对简单， 其中对关联函数的计算
结果为：
P2(μ1, μ2) = 1 - [sin(π|μ2-μ1|)/π|μ2-μ1|]2
看到这里， 大家想必也和 Dyson 一样看出来了， 随机厄密矩阵本征值的对关联
函数正是我们在 第十六节 中介绍过的， Montgomery 所猜测的 Riemann ζ 函
数非平凡零点的对关联函数！ 当然那时候 Montgomery 用的不是象 “对关联函
数” 这样摩登的术语， 事实上 “对关联函数” 这一术语 Montgomery 在和
Dyson 交谈前连听都没听说过， 他自己用的是象 “我正在研究零点间距” 这样
土得掉渣的 “白话文”。 ”
欢迎介绍理解该网文的贴文参入，我认为“该网文知识” 是素数论的探讨前景。
      青岛 王新宇   （qdxinyu）
       2010.12.21

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[这个贴子最后由qdxy在 2010/12/22 01:10pm 第 1 次编辑] 素数论的探讨前景 qdxinyu 20101222 关于ζ 函数(实部=0.5时)零点的计算工作， 1903年算出15个,1925年算出138个,1935年算出1041个,1956年算出2500个, 1966年算出25000个,1969年算出3500000个,1979年算出81000001个, 1986年算出1500000010个, 有一个ζ 函数(实部=0.5,虚部=

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素数论的探讨前景20101223 下面这些话的内情，欢迎介绍和探讨。 “以 Riemann 猜想的成立为前提， 以 Riemann 的公式及 Hardy 与 Littlewood 所猜测的孪生素数分布规律为依据， 研究提出了有关 Riemann ζ 函数非平凡零点在 critical line 上的分布规律的一个重要猜测”是否是说： 孪生素数与ζ 函数更关联。这句话摘自下面网文。 “不幸的是， 素数分布本身在很大程度上就是一个谜。 除了素数定理外， 有关素数分布的多数命题都只是猜测。 而素数定理， 如我们在 第七节 中看到的， 与不幸的是， 素数分布本身在很大程度上就是一个谜。 除了素数定理外， 有关素数分布的多数命题都只是猜测。 而素数定理， 如我们在 第七节 中看到的， 与零点分布的相关性非常弱，零点分布的相关性非常弱， 不足以反推出 Montgomery 感兴趣的信息。 于是Montgomery 把目光投注到了比素数定理更强的一个命题， 那便是 Hardy 与 Littlewood 于 1923 年提出的关于孪生素数分布规律的猜测， 即迄今尚未证明著名的强孪生素数猜想 (有关这一猜想的介绍可参阅拙作 孪生素数猜想)。 Montgomery 以 Riemann 猜想的成立为前提， 以 Riemann 的公式及 Hardy 与 Littlewood 所猜测的孪生素数分布规律为依据， 研究提出了有关 Riemann ζ 函数非平凡零点在 critical line 上的分布规律的一个重要猜测： 上式中 t'; 和 t';'; 分别表示一对零点的虚部， α 和 β 是两个常数 (α<β)。 很明显， 上式表示的是零点的对关联 (pair correlation) 规律。 这一规律被称为 Montgomery 对关联假设 (Montgomery pair correlation conjecture)， 其中的密度函数 ρ(t) = 1-[sin(πt)/πt]2 被称为零点的对关联函数 (pair correlation function)。 从上述分布规律中可以看到 limt→0 ρ(t) = 0， 这表明两个零点互相靠近的几率很小。 换句话说 Riemann ζ 函数的非平凡零点有一种互相排斥的趋势。 这一点与 Montgomery 最初想象的很不相同。 Montgomery 曾经以为零点的分布是高度随机的， 如果那样的话， 对关联函数应该接近于 ρ(t) ≡ 1。 这一分布也不同于 Montgomery 当时见过的任何其它统计分布 - 比如 Poisson 分布或正态分布 - 中的对关联函数， 它与素数本身的分布也大相径庭。 这一分布究竟有何深意呢？ 对 Montgomery 来说还是一个谜。 大家也许还记得， 在 第五节 中我们曾经介绍过 Riemann 提出的三个命题， 其中第一个命题 (也是迄今唯一被证明的一个) 表明在区间 0

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[这个贴子最后由qdxy在 2010/12/26 08:50pm 第 1 次编辑] Riemann 猜想漫谈 一，Hardy 六大心愿,排名第一的是证明 Riemann 猜想。 二,Riemann ζ 函数,ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = Σ(1/n^s), (Re(s) > 1) 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为： ζ(s) =积分表达式,可以证明: ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 复平面上的使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数 的零点。因为 sin(πs/2) 为零, 因此 s=-2n (n 为正整数) 的零点,称 为平凡零点。其他零点称为非平凡零点。 1859年，Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平 面上 Re(s)=1/2 的直线上。Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 三，素数的分布 Euler 乘积公式：Σ(1/n^s)=Π{1-(1/p^s)} , 左边的求和对所有的自然数进行， 右边的连乘积则对所有的素数进行。 可以 证明， 这个公式对所有 Re(s)>1 的复数 s 都成立。 对公式两边同时取了对数， ln (Σn^(-1) = -Σln(1 - p^(-1)) = Σ(p^(-1) + p^(-2)/2 + p^(-3)/3 + ... ...) Euler 由上式得到了这样的渐近表达式： Σp^(-1) ~ lnln(∞), 确切地说:p1 的区域内是绝对收 敛的， 并且可以改写成 Stieltjes 积分 ： lnζ(s) =∫(1/x^s)dJ(x)　?? 其中 J(x) 是一个特殊的阶梯函数， 它在 x=0 取值为零， 以后每越过 一个素数就增加 1， 每越过一个素数的平方就增加 1/2， ... ， 每越 过一个素数的 n 次方就增加 1/n，... 。 在 J(x) 不连续的点 (即 x 等于素数、 素数的平方、... 、素数的 n 次方 ... 的点) 上其函数值 用 J(x)=(1/2)[J(x-)+J(x+)] 来定义。 显然， 这样的一个阶梯函数可 以"用素数分布函数 π(x) "表示为： J(x) = Σ[(1/n)π(x^(1/n))] 对上述 Stieltjes 积分进行一次分部积分便可得到： lnζ(s) =s∫J(x)(1/x^(s+1))dx 左边是 Riemann ζ 函数的自然对数, 右边则是对 J(x)的积分 ζ 函数与素数分布两者之间的关联就已是确凿无疑并且完全定量了, Riemann 解出的 J(x) 是： J(x) =(1/2πi)∫(lnζ(s)/z)(x^z)dz 换句话说， 只要知道了 ζ(s)， 通过这个表达式原则上就可以计算出 J(x)。 知道了 J(x)， 下一步显然就是计算 π(x)。 现已解出， π(x) = Σn [μ(n)/n] J(x^(1/n)) 这里的 μ(n) 被称为 Möbius 函数， 它的取值如下： μ(1) = 1 μ(n) = 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除) μ(n) = -1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积) μ(n) = 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积) 因此知道了 J(x) 就可以计算出 π(x)， 即素数的分布函数。 待续 qdxinyu摘录" 卢昌海的贴文" 2010.12.26