盒中有10黑球和若干白球，取50次，每次取20球，取出黑球数占总数67%，求白球数的估计

概率考

在一个不透明的盒子里放着10个黑球和若干个白球，若每次从盒子里拿出20个球,连续试验50次.拿出的黑球数与20的比平均值约为0.67,问这个盒子里大约有多少个白球?

luyuanhong

题  盒中有 10 黑球和若干白球，取 50 次，每次取 20 球，取出黑球数与 20 之比平均为 0.67 ，

    求盒中白球数的估计。

解  设盒中白球数为 n ，设每次取出的黑球数为随机变量 X 。

    X=k 也就是从盒中取 20 球，恰好取到 k 个黑球，这样的概率为

               P{X=k}=C(10,k)C(n,20-k)/C(10+n,20) 。   

    可以看出，X 服从超几何分布 H(20,10,10+n) ，X 的数学期望（总体均值）为

           E(X)=20×10/(10+n)=200/(10+n) 。

    因为已知每次取 20 球，取出黑球数与 20 之比平均为 0.67 ，所以取出黑球数的样本均值为

                20×0.67=13.4 。

    按照矩法估计的原理，可以用样本均值作为数学期望（总体均值）的估计，所以有

      200/(10+n)=13.4 ，200=13.4(10+n)=134+13.4n ，13.4n=66 ，n=66/13.4=330/67 。

luyuanhong

    刚才的解答发出后，我发现一个问题：用矩法估计可以求得盒中白球数的估计值为 n=330/67≈5 。

这样，盒中球总数的估计值≈10+5=15 ，而题目又说每次可以从盒中取出 20 个球，这样就发生了矛盾。

发生这样的矛盾，并不是因为我们的解答过程有错，而是因为矩法估计这种方法本身有缺陷，这种估计

往往会得到不合理的解。

   看来，要解决矛盾，必须放弃矩法估计，改用极大似然估计。

   极大似然估计做法是这样的：让盒中白球数依次取各种合理的值 n=10,11,12,13,… ，然后看哪一种

值能够使得取出黑球数的样本均值恰好等于 20×0.67=13.4 的概率为最大。

   容易看出，当 n=10 时，总体均值 E(X)=200/(10+10)=10 ，已经小于样本均值 13.4 。

   随着 n 增大，总体均值 E(X)=200/(10+n) 会越来越小，与样本均值 13.4 的偏离越来越大。

   总体均值与样本均值的偏离越大，发生这种情况的概率越小。

   所以要求概率最大，只能是 n=10 ，所以盒中白球数的极大似然估计就是 n=10 。

luyuanhong

刚才的解发出后，我仔细想想还是有问题：每次取出 20 个球，而盒中的黑球数只有 10 个，

所以黑球数在 20 中的比例不会大于 0.5 ,可见，题目中说黑球比例平均为 0.67 是不可能的。

   看来题目本身就有错。

   除非把题目改为：每次取 20 个球，是取出一个球看是什么颜色，看完就放回，这样取 20 次。

因为是有放回的取球，取出黑球数 X 不是服从超几何分布，而是服从二项分布 b(20,10/(10+n))，

X 的数学期望（总体均值）为  E(X)=20×10/(10+n)=200/(10+n) 。

用样本均值 20×0.67=13.4 作为总体均值 E(X)=200/(10+n) 的估计，最后可得到 n=330/67≈5 。

   因为是有放回取球，所以，n≈5 并不会产生矛盾。

概率考

谢谢 意思和试验50次没有什么关系啊?