关于变上限积分函数的连续性问题

也许是缘

假如f(x)在[a,b]上可积，但f(x)在[a,b]上的一点m处是没有定义的（即存在第一类间断点），那么f(x)的变上限积分（积分上下限都在[a,b]区间内）为什么连续？   个人疑问：首先f(x)在[a,b]上已经不连续啦，也就是其定义域是[a,m)并上(m,b]，那么为何经过积分就成连续的啦？  积分后所得到的函数的定义域不该是取决于被积函数的定义域吗？