坚持断链法证明四色猜测

雷明85639720

坚持断链法证明四色猜测
雷  明
（二○一六年十二月十二日）

在证明四色猜测中，坎泊所创造成的颜色交换技术，主要是交换轮构形中对角顶点的颜色所构成的不连通的色链，以便使轮沿顶点减少一种颜色给待着色顶点着上。那么在有连通对角链的情况下，人们自然就会想到，破坏连通链，使其变成不连通，以便于使用颜色交换技术。
色链是由两种颜色交替着色的道路。要改变该道路中某一顶点的颜色，就必须对道路中所有顶点的颜色进行交换，才能达到目的。
由A，B，C，D四种颜色构形的色链只有六种：即A—B，A—C，A—D，B—C，B—D和C—D。把颜色均不同的两条链叫做相反链，把一种颜色不同，而另一种颜色相同的两链链叫相邻链，当然了，两种颜色都相同的两链就是相同链了。

5—轮构形的轮沿顶点在点用了四种颜色的情况下，只能是有一种颜色用了两次，且这两个相同颜色的顶点间最少相隔一个顶点。若用B表示用了两次的颜色，用A表示其中间所夹顶点的颜色，则称其为双B夹A型5—轮构形，用123—BAB表示，如图1所示。
5—轮构形中若某条对角链是连通的，则其与待着色顶点V就构成了一个环，这时该链的相反链便不可能再连通，因为两条互为相反的链是不能互相穿过的，如图2和图3所示。与对角链相应的也就有邻角链，如由1B和2A，以及5C和4D构成的链则是邻角链。


5—轮构形最多只可能有两条连通链，且是一对相邻链。其中一种情况是两链只有一个共同的顶点。这里有两种情况：一是有共同的起始顶点2A的（如图4），二是中途有交叉顶点8A的（如图5）；另一种情况是两链的两种共同顶点都存在，如图6。图1到图5的五种构形，坎泊已证明都是可约的，我们叫他们为坎泊构形（简记为K—构形）。只有图6的构形，目前还没有证明是否可约。这个构形是由赫渥特图简化而来的，所以叫它赫渥特图型构形（简记为H—构形）。
有两种共同顶点的两条连通链的5—轮构形的基本模式如图7，由此可以产生以下4种构形：图8的构形可以交换B—C链和B—D链（交换的次序无先后），空出B给V，图9可先交换B—D链，后交换B—C链，空出B给V，而图10则可先交换B—C链，后交换B—D链，也可以空出B给V。三个构形都是可以同时移去两个同色B的可约构形。

图11中有一条环形的C—D链，把A—B链分成了互不连通的两部队分，可以从顶点2A（两链的共同起点）或顶点8A（两链的交叉顶点）交换A—B链，使原来的A—C链和A—D链断开，成为一个如图5的只有相交顶点的构形，成为可约的构形。这种方法我叫断链法，即把连通链断开，使构形转变成可约的坎泊构形；图11的构形还可以只交换1B—7D链或3B—6C链之一，使构形转由123—BAB型转化成451—DCD型或345—CDC型的构形，成为如图9和图10的可同时移去两同色D和C的构形而可约。这种方法我叫它转型法，即把构形由一种类型转化成另一种类型。指出坎泊的证明有漏洞的赫渥特图就具有图11的特征，用这两种办法都可以给其进行4—着色。通过转型交换还可以看出，图9和图10两个构形如果交换的先后次序搞错了，也都是可以转化为图11的构形而不得其解。
从图11中还可以看出，如果在顶点6C和7D间还有别的顶点时，则一定是一个可以同时移去两个同色的构形。只所以图11的构形不可同时移去两个同色B，就是因为顶点6C和7D间没有别的顶点，所以，从1B—7D交换了B—D后，便产生了一条由顶点3到顶点5的连通链B—C，若从3B—6C交换了B—C后，便产生了一条由顶点1到顶点4的连通链B—D，这就是最终不能同时移去两个同色B的原因。
一般的，如果图不是以上的九点形图时，除了6C和7D是一条单边外，其他的边都是与图中的单边链两顶点颜色相同的链时，虽然情况更复杂一些，但仍可以只交换B—C链或B—D链中的一条，使构形转型而得解。也都可以通过断链的方法而解决。
断链的原理：可以从两链共有的顶点断链，使两条相交的连通链都断开，但也可以从两链非共有的顶点断开，使一条或者两条连通链都断开。图8的构形，仍可交换任一条C—D链而解决，并且都可以使构形成为坎泊构形而得解。

图13是有通过A—C链和A—D链的C—D环形链的情况，从2A，8A，或从C—D环内、外任意交换A—B链，都可以使A—C链和A—D链两条或一条断开，使构形变成K—构形而得解。赫渥特图与图10的构形就是这样解决的；图14是有通过A—C 链和A—D链的A—B环形链的情况，只要从A—B环内、外任意交换C—D链，都可使A—C链和A—D链两条或一条断开，使构形变成K—构形而得解（在上面的图12中，已说了顶点6和7直接相连，才会产生这样的类赫渥特图型的构形，所以在图14中也就直接只画出了C—D是一条边的）。敢峰—米勒图就是这样解决的（如图15，可惜米勒对他的图却不能给以解决）。对赫渥特图类构形和敢峰—米勒图类构形的研究知道，两构形也是可以通过转型交换而相互转化的。但不管如何转化，这两个构形都是可以通过断链法使构形变成K—构形而得解的。


还有一种构形，象图9和图10那样，A—B链和C—D链都是直链。图中没有任何环形链，但也不能同时移去两个同色B。这样的构形既然没有环形链，当然也就不能使用断链法了。但我们可以使用转型交换，使其转型，使其转化为如图9，图10和图11的可约构形而得解。张彧典先生的第八构形（如图16）和我构造的几个构形（如图17），都是可以这样解决的。


通过研究还发现以上各构形间存在着一定的联系，如图18所示。平面图的任何构形，都可以通过箭头的方向，转化成可约的坎泊构形。

从以上的分析看，除了A—C链和A—D链连通（B—D和B—C链是不会再连通的）外，赫渥特图中有一条环形的C—D链，敢峰—米勒图中有一条环形的A—B链，张彧典—雷明构形中没有任何连通链，这三种构形已证明都是可约的。除此之外，5—轮构形中再也没有别的类赫渥特图型的构形了。加上坎泊已证明了的可约的5—轮构形，就证明了任何5—轮构形都是可约的。再加上坎泊已证明了的其他轮构形的可约，就证明了平面图的所有不可免构形都是可约的，这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一六年十二月十二日于长安
注：此文已于二○一六年十二月十二日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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