张彧典先生的Z—构形为什么一定可约

雷明85639720

张彧典先生的Z—构形为什么一定可约
雷  明
（二○一六年十二月十三日）

我们已多次谈到张先生的第八构形是一个重要的构形，所以我称其为Z—构形。我们已多次通过实践，证明了该构形一定是可约的，今天我们就从理论上谈谈它为什么一定可约的问题。
1、坎泊的颜色交换技术的三种用途：以BAB型 5—轮构形为例来进行说明。


第一，空出颜色的交换。当2A—5C链与2A—4D链不连通时，在图1，图2和图3中，从顶点2，顶点4，顶点5开始，对A—C链或A—D链的交换，都是可以空出颜色的交换。
第二、转型的交换。当1B—4D链与3B—5C链不连通时，在图1，图2，图3，图4和图6中，从顶点1，顶点3开始，对B—C链或B—D链的交换，都可以使BAB型构形转化成DCD型构形或CDC型构形，这样的交换就是转型交换。在可以同时移去两个同色B的构形中，第一步的交换属于转型交换，第二步的交换则属于空出颜色的交换；
第三，断链的交换。只要是从非5—轮轮沿顶点开始的交换，或者交换的链经过了5—轮轮沿顶点两个以上顶点的交换，都可以使连通的A—C链和A—D链断开，变成不连通。这样的交换叫做断链交换。如图5从顶点8A进行A—B链的交换，图6从顶点2A或8A进行A—B链的交换，或者从顶点4D或5C以及顶点6C或7D进行C—D链的交换，都是断链交换。
以上坎泊的颜色交换技术的三种交换用途，当年坎泊只是使用了其中空出颜色的一种。他在同时移去两个同色时，尽管第一步用的也是转型交换，第二步用的是空出颜色的交换，但他却是在不自觉的去进行的。他只知道能同时移去两个同色，并不知道两次交换的实质是不同的。
2、赫渥特图型基本构形的4—着色

赫渥特图型基本构形如图7。图7中a，b，c三图都是可以同时移去两个同色B的构形。但第一步的转型交换时，a图是任意的；而b，c两图则是要进行选择的，因为这一步交换后图就会转化为d图的构形（第二步交换则是属于空出颜色的交换）。d图是一个不可同时移去两个同色B的构形，即类赫渥特图型的构形，它的着色是从顶点8A或2A开始交换A—B链，使A—C链和A—D链断链而成为坎泊构形。
3、更一般的赫渥特图型构形的4—着色

上面的图7中，各顶点间的链都是单边链，还不具有一般性，不能代表任意的平面图。现我们把图7的九点形图都变成图8的十五点形，其中的a、b、c、d图分别对应图7中的a、b、c、d图。图8中的a图，其虽与图7，a的结构相同，都有环形的A—B链，但该图却不能同时移去两个同色；但可以从顶点4D，5C或顶点6C，7D开始，进行C—D链的断链交换，使原来连通的A—C链和A—D链断开而成为坎泊构形；也可以从顶点1B或3B开始进行转型交换。又如在图8，b和图8，c（这两图就是类张彧典先生的第八构形即Z—构形的图）中，与图7中的b，c图也有相同的特征，但这两个图却不能同时移去两同色B。该两图在进行4—着色时必须先进行转型交换，由BAB型构形转化成DCD型或CDC型构形。只有图8，d与图7，d不但图的结构是相同的，而且解法也是相同的。
对于图8，a和图8，d而言，其中都含有环形链，环形链内、外与其相反的色链，一定是不会穿过该环形链的。在图8，a和图8，d中，分别交换环形链内、外的相反链，都可以使图中原来连通的A—C链和A—D链断开，成为坎泊构形而得解。如赫渥特图和敢峰—米勒图就是这样解决的。对图8，a和图7，a而言，图7，a中环形链A—B中只有关键的四个顶点1B、2A、3B和8A，是环形链中最小的链环，从顶点1B（或3B）进行了B—D（或B—C）链的转型交换后，不会产生从顶点3B（或1B）到顶点5C（或4D）的连通链B—C（或B—D）；而图8，a则不然，环形链A—B中的顶点数大于4，从顶点1B（或3B）进行了B—D（或B—C）链的转型交换后，将会产生从顶点3B（或1B）到顶点5C（或4D）的连通链B—C（或B—D）。所以图7，a是可以同时移去两个同色的构形，而图8，a却是不能同时移去两个同色的构形。反过来，也是同样的原因，图8，a是可以在环形链A—B内、外交换C—D而断链的构形，而图7，a则是不能做到这一点的。
形如图8，a和图8，b、图8，c的两种类张先生的Z—构形也都需要转型才能解决，我们就先来研究张氏Z—构形有转型交换。
4、张氏Z—构形的4—着色
图7，b和图7，c只是左右不同，图8，b和图8，c也是左右不同，所以只要研究图8，b与图7，b就可以了。图7，b中有从1B到8A的A—B链，有从6C到4D的C—D链，而图8，b中同样也有从1B到8A的A—B链和从6C到4D的C—D链。

图7，b本来是一个可先从1B开始进行转型的B—D链的交换，再从3B开始进行空出颜色的B—C链的交换，是可以同时移去两个同色B的，空出B来给待着色顶点着上；但若交换的次序错了，而是先从3B进行了转型的B—C链的交换后，得到的却是一个CDC型的类似图7，d的类赫渥特图型的图（读者可以自已交换一下）；既然图8，b与图7，b有同样的结构，那么从3B进行了转型的B—C链的交换后，得到的也应是一个类赫渥特图型的构形，的确得到的就是一个类赫渥特图型的构形（如图9，a）。该图中有一条经过1B和2A的A—B环形链，分C—D链为互不连通的两部分，交换任一部分C—D链都可以使A—C链和A—D连通链断开（如图9，b），变成坎泊构形而得解。这是一个必然的结果，而不是偶然的。从这一点讲，图7，b和图8，b进行转型交换的结果是一致的。
图7，b从1B进行了B—D链的交换后，再从3B进行B—C链的交换，可以同时移去两个同色B，给待遇着色顶点着上B；但图8，b却做不到这一点，而得到如图10，a的DCD型的图。图10，a表面上看与图8，b相似，也没有环形链，但却是一个与图7，b或图7，c相同的构形，是可以同时移去两个同色的构形。该构形再从4D开始进行转型的D—A链交换后，不会产生由1D到3B的连通链D—B。再从1D或3B进行空出颜色的D—B交换，即可空出D或B给待着色顶点着上。这也是一个必然的结果。


现在再看一看图8，a和图8，d。
图8，a从1B（或3B）进行了B—D链的转型交换后，得到图11。两图中均有环形的A—B链，是一个类赫渥特图型的构形。是可约的。
图8，d从8A（或2A）进行了A—B链的断链交换后，得到图12。两个图均是坎泊构形，是可约的。
到此，就证明了任何一个张氏Z—构形无论从那个方向进行了转型交换后，得到的构形都是可约的构形。所以说张先生的Z—构形一定是可约的。

5、四色猜测是正确的
图7的类赫渥特图型的最基本的九点形构形中，a、b、c三图都是可以同时移去两个同色的构形，d图可以通过一次转型交换也可以转化为可以同时移去两个同色的构形，也可以通过断链交换使构形直接转化为坎泊构形；图8的扩大型的类赫渥特图型的基本十五点形中，各图都可以通过一次转型交换，使构形转化为一个可以同时移去两个同色的构形，或者是类赫渥特图型的构形，d图也可以通过断链交换使构形直接转化为坎泊构形；还有敢峰—米勒图又是可以通过转型交换，与类赫渥特图型的构形相互转化的，且也可以通过断链交换使构形直接转化为坎泊构形；这些构形也已证明都是可约的，并且也再没有别的从结构上讲是不同的构形了（除了连通且相交的A—C和A—D链外，从A—B链和C—D链的角度上讲，该两链均不是环形链的，有一种链是环形链而另一种不是环形链的，两种链都是环形链的均已全部考虑到了）。加上以前坎泊证明了的可约构形，平面图的所有不可免构形已都是可约的了。这就证明了四色猜测是正确的。
以上各构形之间的相互转化关系可用以下图13来表达。只要把构形类别看明白后，沿图13中的箭头所指方向，就可以使平面图的任何构形（或图）进行4—着色。


雷  明
二○一六年十二月十三日于长安

注：此文已于二○一六年十二月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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