[原创]向量的加减、乘除与乘方、开方

zhaolu48

[watermark] 向量的加减、乘除与乘方、开方 　　复数的加减、乘除、乘方与开方实质上就是向量加减、乘除与乘方、开方。 　　在平面直角坐标系内，任意向量a都可用两正交向量m=(1,0)、n=(0,1)线性表出。即存在p,q，使a=p(1,0)+q(0,1)，称为a的代数形式，且a的模为r=sqrt(p^2+q^2)，a的幅角α=π(1-sing(q))+acos(p/r)(sing为符号函数，即q>0时sing(q)=1,q=0时，sing(q)=0,q<1时sing(q)=-1，acos表示反余弦)，从而有p=r cosα,q=r sinα。进而得到a=r(1,0)cosα+r(0,1)sin　　　α=r[(1,0) cosα+(0,1)sinα]，称为a的三角形式。 　　a=p(1,0)+q(0,1)事实上就是a=(p,q)(直角坐标), 　　a=r(1,0)cosα+r(0,1)sinα=r[(1,0) cosα+(0,1)sinα]就是a=(r,α)(极坐标)。 　　由此可知，a相当于任意一个复数，单位向量(1,0),(0,1)相当于实数单位“1”与虚数单位“i”。 　　由此定义向量的乘法运算：任意向量a=p(1,0)+q(0,1)=r[(1,0) cosα+(0,1)sinα]与(1,0)的积a(1,0)=a,(1,0)^2=(1,0)。1/a没有意义，因为向量的倒数没有定义，即向量不能去除实数。但向量可以现任何实数相乘，这是向量空间已经定义了的。 (0,1)^2=-(1,0)=(-1,0)，(0,1)^3=-(0,1)=(0,-1),(0,1)^4=(1,0)。 　　设向量b=u(1,0)+v(0,1)=s[(1,0) cosβ+(0,1)sinβ]，那么有 　　a±b=(p±u)(1,0)+(q±v)(0,1) 　　a×b=(pu-qv)(1,0)+(pv+qu)(0,1)=rs[(1,0)cos(α+β)+(0,1)sin(α+β)] 　　把c=u(1,0)-v(0,1)称为b的共轭向量，则bc=u^2+v^2，从而有 　　a/b=ac/(bc)=[(pu+qv)/(uu+vv)](1,0)+[(qu-pv)/(uu+vv)](0,1) 　　=(r/s)[(1,0)cos(α-β)+(0,1)sin(α-β)] 　　a^n=r^n[(1,0)cos(nα)+(0,1)sin(nα)] 　　设x^n=a，把向量d称为向量a的n次根向量。令x=t[(1,0)cosφ+(0,1)sinφ]，则 　　t^n[(1,0)cos(nφ)+(0,1)sin(nφ)]=r[(1,0)cosα+(0,1)sinα]，因此有 　　t=sqrt(r)，nφ=2kπ+α(k=0,1,2,…,n-1)，即 　　x=sqrt(r){(1,0)cos[(2kπ+α)/n]+(0,1)sin[(2kπ+α)/n]} (k=0,1,2,…,n-1) 　　因为这些都是针对向量的运算，并且运算的结果也都是向量，尽管与复数的运算形式完全相同，但它们确实是向量运算。实质上复数的运算，也是以“1”、“i”为单位正交基底的向量运算。 　　下面是用rand()*10*(-1)^int((rand()*10)的随机输入语句生成了向量a,b的直角坐标，再把它们的相关计算结果同时输入同一个数据库中，结果如下 a =( -8.513903291895986, 9.087816453538837) b =( -3.806268787011504, 3.367050956003368) a+b =(-12.320172078907490, 12.454867409542200) a-b =( -4.707634504884481, 5.720765497535469) a*b =( 1.807063277707105,-63.257418327493060) a的极坐标=( 12.452909585995090, 3.959584786219179) b的极坐标=( 5.081802260940623, 3.865837794813566) a*b极 =( 63.283224089399010, 7.825422581032744) a*b极化直=( 1.807063277707141, 63.257418327493050) a/b极 =( 2.450490779956107, 0.093746991405613) a/b极化直=( 2.439730596761434, 0.229389794620392) a^5极 =(299470.587527694100, 19.797923931095890) a^5极 =(299470.587527694100, 1.409416900598444) a^5极化直=(48118.8926118039500,295579.439352597700) 令x^7=a x1极 =( 1.433729634967712, 0.565654969459883) x2极 =( 1.433729634967712, 1.463252870485538) x3极 =( 1.433729634967712, 2.360850771511193) x4极 =( 1.433729634967712, 3.258448672536848) x5极 =( 1.433729634967712, 4.156046573562503) x6极 =( 1.433729634967712, 5.053644474588159) x7极 =( 1.433729634967712, 5.951242375613814) x1极化直 =( 1.210408664334007, 0.768434467921510) x2极化直 =( 0.153891199059099, 1.425446654574209) x3极化直 =( -1.018509477915686, 1.009068436519826) x4极化直 =( -1.423951744212886, -0.167158895478912) x5极化直 =( -0.757129303795695, -1.217512169761969) x6极化直 =( 0.479826945002850, -1.351053947492061) x7极化直 =( 1.355463717528311, -0.467224546282601) 　　这些运算的几何意义是非常明显的：向量的加减是向量的合成与分解，向量的乘除是向量的模的扩大与缩小，同时进行了向量的旋转；乘方不过是向量的连续旋转，如果向量x(1),x(2),…,x(m)是向量a的m个m次根向量，则这些向量的终点是一个正m边形的m个顶点，以每个根向量的模的m次幂为模，并且将其幅角扩大m倍得到的向量恰好是向量a。 [/watermark]

zhaolu48

　　用(0,1)代替虚数单位i，高斯已经这样做过，但高斯是把(0,1)作为虚数单位的。向量的意义很小。
　　在主帖中，(1,0)与(0,1)就是一组单位正交基，也可看作是现个点的直角坐标。在这里根本不存在虚数的概念。
　　在复数理论中，是先定义i^2=-1,而复数的三角形式代表的几何意义以及复数的乘除的几何意义，多少带点巧合的意义。
　　因为把向量(1,0)逆时针旋转π/2，得到的向量是(0,1),因此定义为
　　(1,0)(0,1)=(0,1)(1,0)=(0,1)       (1)
　　把(0,1)再逆时针旋转π/2，得到的向量是(-1,0),因此有
　　(0,1)(0,1)=(0,1)^2=-(1,0)=(-1,0)   (2)
　　在这里作为乘数的向量(0,1)就具有了虚数单位“i”的性质，而(1,0)具有了实数“1”的性质。
　　如果把虚数单位“i”看作是由向量乘法的单位因子(0,1)的性质得到的，那么虚数也就不虚了。
　　逆时针旋转π/2，可以看作是单位旋转。
　　那么对于虚数单位“i”可以改变其称呼，称其为“单位旋转因子”更合适一些。

wangyangkee

俞根强，闹蠢货，瘪气了；俞氏荣耀走下坡路
顽石，成功数学家，达到指斥康托答陆教授问的高峰
elimqiu老师达到与顽石先生不相上下的学术高度！
申一言，单位论，战无不胜