[求助]和映射有关的一段话，不知写得是否妥当？

ly9388

麻烦帮看一下这段话，总觉得有重复或不妥的地方。谢谢！
（注：我的定义不是对数学上严格的等价定义而言，只是借用“等价”这个词。）

定义1已知集合A、B和映射M：A→B。如果g∈A和r∈B, 同时满足映射M(g)=r和g=M-1(r)，则称g和r等价，记为g≡r。

引理1对于任意的g∈A，总存在唯一的r∈B，使得g≡r;
对于任意的r∈B，总存在唯一的g∈A，使得g≡r。

证明：因为映射M为一一映射，则得证。

董泽相

映射的概念
设 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中的任意元素，在集合 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 到 的映射，通常记为
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 董泽相 在 时添加 -=-=-=-=-
映射的概念
设A,B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A到 B的映射，通常记为 f:A→B

luyuanhong

下面引用由ly9388在 2011/01/01 10:18am 发表的内容：
麻烦帮看一下这段话，总觉得有重复或不妥的地方。谢谢！
（注：我的定义不是对数学上严格的等价定义而言，只是借用“等价”这个词。）
定义1已知集合A、B和映射M：A→B。如果g∈A和r∈B, 同时满足映射M(g)=r和g=M-1(r)，则称g和r等价，记为g≡r。

引理1对于任意的g∈A，总存在唯一的r∈B，使得g≡r;
对于任意的r∈B，总存在唯一的g∈A，使得g≡r。
证明：因为映射M为一一映射，则得证。

在引理 1 中“对于任意的 r∈B ，总存在唯一的 g∈A ，使得 g≡r ”不一定成立。
因为定义 1 只保证了映射 M 是一个单射，并没有保证 M 是一个满射。
例如，设 A=(0,+∞) 是全体正实数，B=(-∞,+∞) 是全体实数。
设映射 M：A→B 是 M(x)=x ，它的逆映射是 M^-1(x)=x 。
按照定义 1 定义的等价关系 g≡r ，显然就是普通的相等关系 g=r 。
对于任意的 g∈A=(0,+∞)，总存在唯一的 r∈B=(-∞,+∞)，使得 g=r 。
但是，对于任意的 r∈B=(-∞,+∞)，并不一定存在唯一的 g∈A=(0,+∞)，
使得 g=r 。例如，r=-1 时，就找不到 g∈A=(0,+∞)，使得 g=r=-1 。

不定方程

1、看了陆教授的回复才知道楼主的“g=M-1(r)”是什么意思。
2、陆教授解释得很好。
我补充两点供楼主参考：
3、规定g、r的任意性；
4、规定在M、M^(-1)下的唯一性。

任给g∈A,存在唯一的r∈B，使得M(g)=r；任给r∈B,存在唯一的g∈A，使得M^(-1)=r，就称g、r等价，记为 g≡r 。（供参考）

ly9388

非常谢谢大家的回复！