费马大定理与丢番图数学命题的婚礼 (易衍文)

yishaomin

                               费马大定理与丢番图数学命题的婚礼
                                                                                                            
                                                  易衍文
   
    我们已经进入公元2000年，这是2O世纪最末的一年。国际数学联盟(IMU)规定2000年为“世界数学年”。将在我国首都召开国际数学大会，这非常有意义。在此，我特别推出《费马大定理与丢番图数学命题(第八命题)的婚礼》一文，提供国际数学大师们，为2O世纪数学做总结的一份参考。
    2O世纪的数学，以数学家希尔伯特，总结过去，展望未来,而提出的二十三个问题，写下了第一页。在二十三个数学问题中，丢番图命题(丢番图方程的可解性)和费马大定理(费马l 命题的无解性)，是至今未能解决的一对“鸳鸯命题”。
    几百年来，人们孤立地研究费马大定理，把问题越搞越复杂，以至不可收拾。
    l994年，英国数学教授威尔斯(Wiles)宣称他证明了费马大定理，他的论文长达l4O页。l996年出席了在德国召开的国际数学大会，领到了德国颁发的数学奖金(为费马大定理设立的专项奖金)。可是，这个问题却引了国际数学家们的怀疑。
    美国伯克利加利福尼亚大学数学教授Kenneth A Ribet撰文《费马的最后抵抗》(见于《科学》Scientific American中文版l998年2月号，该刊又称为科学美国人)，文中介绍了有关情况，并指出：所有数学家一致认为，Wiles的证明太复杂，太现代化了，不可能是费马当年在页边空白写下的那一段话时脑中所想到的证明。二者必居其一，------要么是费马自己弄错了，他的证明(如果的确有一个证明的话)实际上是有问题的；要么就真的是还有一个简单而巧妙的证明，等待着数学家们去发现。
    这段话说得对极了。
费马大定理是从丢番图第八命题中派生出来的，它们从小青梅竹马，形影不离。不研究丢番图第八命题，就永远无法理解费马大定理。或者只能越走越远，把问题搞得极其糟糕。
   皮埃尔·费马(Fermat)是十七世纪法国一位业余数学家，他本人职业是律师。l 6 3 7年他在阅读《丢番图著作》(Diuphantus)第八命题时，他在书的页边空白处写下一段话，他写道：“将一个立方数分为两个立方数，将一个四次幂或一般高于二次幂的数，分为两个同次幂的数，这是不可能的(重点号是笔者所加的)。关于此，我确信已发现一种美妙的证明，可惜这里空白太小， 写不下。”
用数学的语言表达出来，应当是：
    An+Bn≠Cn (当n≥ 3时),或者说：An+ Bn=Cn(当n≥ 3时)没有整数解。
这个命题是从丢番图(Diuphantus)第八命题中派生出来的。该命题称：“将一个平方数分为两个平方数”即:A2+B2=C2．
    A2+B2=C 2后来被人们称为丢番图方程，它是有整数解的，而且有无限多的“整数解”。
   现在的问题是：(1)找到A2+B 2=C 2的可靠的解法，就是该命题“有解性”的证明。 (2)必须确切证明：为何A2+B2 =C2 有解，而An+ Bn≠Cn，
即A n+B n=C n(n≥ 3时)无解。
   这两个问题同时解决了，则费马大定理和丢番图数学命题也就同时解决了。但是，A2+B2=C2 还有它的特殊性的一面。我们一看就知，这个表达式，可称之为毕达哥拉斯定理，在中国叫做勾股弦定理，它所表达的是：直角三角形三个边长之间的关系。
   在毕氏定理(勾股弦定理)中，确实存在：三个边长都是正整数的直角三角形，如32 +42=52 (a=3，b=4，c=5)。
    古希腊人，把a、b、C三数，称之为“毕氏三数组”。“毕氏三数组”有无限多吗?如何求解呢?
    回答是肯定的，它们有无限多的整数解，即有“无限多” 的毕氏三数组。
换句话说，就是：三个边长都是正整数的直角三角形，有无限多。
我们现在找到了它的可靠解法：
(1)当A是奇数时，B=(A2-1)／2，C=(A2+1)／2。
如：A=7，B=(72-1)／2=24，C=(72+1)／2=25。
即：72+24 2=252 ， 49+576=625。

(2)当A是偶数时，B=A 2／4-1，C=A2 ／4+l。
例如：A=8，B=82／4-1=l5，C=82／4+l=l7
即：8 2+l 5 2=l 72 ，64+225=289。
    以上两个解法，就是关于“毕氏三数组”的全部解法。它是绝对可靠的。
我们把上述两式，称之为“ 毕氏三组数的关系式。”由此，丢番图第八命题A2 +B2 =C2 的“可解性”得到完全的证明。
    应当指出：A 2+B2 =C2 只是在毕氏定理条件下才有整数解的，脱离了这个条件则无整数解。
    为什么毕氏定理条件存在着一种“特殊性”?其中隐藏着一个“秘密”，这也许就是当年费马脑中所想到的。
    毕氏三数组，其实应当是毕氏四数组，我们为它给一个补数r，则有：
如果：A+B=C+r
则：(A+B)2 =(C+r)2
A2 +2AB+B2 =C2 +2C r+r2
2Ab=2Cr+r
A2+B2 =C2 (两端同时减去一个等量) ；
由此，得知：A2 +B2 =C2 是一个经过简化了的代数等式。
现在按照毕氏四组数，重新列出其关系式：
(1) 当A为奇数时，B=A 2-1／2， C=A 2+l／2，r=A-1．
例如：A=7，B=24，C=25，r=6
则：7+24=25+6
(7+24)2 =(25+6)2 ，7 2+242 =25 2(经过简化后) 。
(2) 当A为偶数时，B=2A-1， C=2A+l，r=A-2
例如：A=8，B=l5，C=l7，r=6
8+l5=l7+6
(8+l5)2 =(17+6)2
则：82 +l52 =l72(经过简化后) 。
    由此得知：在A n+B n=Cn，(当n>3时)不存在这种特殊性， 它脱离了毕氏定理，脱离了“直角三角形”这种“数”与“形” 或边与长的关系，即使补足一个数r，也不可能简化为一个代数等式，试看：
如果：A+B=C+r    (A+B)3 =(C+r)3
则：A3 +3 A2B+3 A B2 +B3 =C3 +3 C2 r+3 C r2 +r 3
因为：3A2B+3AB2≠ 3C2r+3Cr2+r 3
所以： A 3+B3 ≠ C3 ，故An+Bn=Cn(当n>3时)绝无整数解。
两个命题,同时由此证明完。
    我的这篇文章，是在学习重庆师范学院数学系成人教育处，由方镇华教授所编《简明数学史》(1 9 9 0年1 0月版) 而得来的。我受益于该书，在此，特向方镇华教授表示衷心地感谢。有关问题，请参阅该书。
    2 0世纪已结束，国际数学大师们应该为本世纪的数学做一个总结。希尔伯特所提出的二十三个数学问题，大部分都已解决，或者基本解决，有些问题是互相有联系的，例如："哥德巴赫猜想(1+ 1)"，与"墨森尼猜想"(墨森尼质数的研究)，"费马小定理"(费马数的研究)，都有着密切的联系。
据知，我国数学家华罗庚教授，曾经在1 9 3 8年证明了哥德巴赫猜想(1+ 1)是肯定的。但后来人们不承认了。原因是：关于质数的分布问题没有得到可靠的解决。现在，笔者读到，美国阿尔伯特·H·贝勒所著《数论妙趣》(上海出版社出版，谈伯详译)。得知，在近代高科技条件下，通过快速电子计算机的计算，已经解决了墨森尼数和费马数的分布，我赞同该书作者的一些观点。
    对于哥德巴赫猜想(1+1)，应作以下结论，即：在有限的范围内，哥德巴赫猜想(1+1)是肯定的，如华罗庆教授所证明。但随着研究数值的增大，由于质数的分布越来越稀，两质数之间的间隔越来越大，则(1+1)就越来越不可靠了。也就是说：在无限的范畴，哥德巴赫猜想(1+1)是不肯定的， 或者说是否定的。无限范畴无数学。
以上这些意见，供数学家们参考。
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已经结束了。但数学研究与应用中还有更多、更有价值意义的课题，值得当代青年学人去投入研究，因为你们才是国家的前途，民族的未来和希望。我们中国人民总得为全人类作出新的、更多、更大的贡献！人类总得不断地有所发现、有所发明、有所创造、有所前进。什么是数学中的美？！——答：和谐，对称与和谐的统一。
          向有爱国良心的大数学家邱成桐大师（博士）致敬！向全国各地的数学老师们问好！新年快乐，吉祥如意！
                                                  易衍文  
                                                         2011年1月1日
                                   于重庆市万州 OCR读取与识别于《科学中国》原文后重新录入
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changbaoyu

祝：易老新年快乐！

yishaomin

谢谢您！也祝您新年快乐，保重身体，吉祥如意！我在练习打字，学习世界语，每天约上网一个小时。

申一言

祝易老万寿无疆！
    在新的一年有新的起色！


                                                 释义言。

yishaomin

尊敬的申一言先生：您好！吉祥如意！我们中国民间的数学人应放弃功名，摒弃名利思想，做个有觉悟、有道德的人；潜心研究，多出成果：好！以此共勉。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/01/09 10:47pm 第 1 次编辑]

下面引用由yishaomin在 2011/01/02 00:17pm 发表的内容：
在毕氏定理(勾股弦定理)中，确实存在：三个边长都是正整数的直角三角形，如3^2+4^2=5^2 (a=3，b=4，c=5)。
   古希腊人，把a、b、C三数，称之为“毕氏三数组”。“毕氏三数组”有无限多吗?如何求解呢?
   回答是肯定的，它们有无限多的整数解，即有“无限多”的毕氏三数组。
换句话说，就是：三个边长都是正整数的直角三角形，有无限多。
我们现在找到了它的可靠解法：
(1)当A是奇数时，B=(A^2-1)／2，C=(A^2+1)／2。
如：A=7，B=(7^2-1)／2=24，C=(7^2+1)／2=25。
即：7^2+24^2=25^2 ， 49+576=625。
(2)当A是偶数时，B=A^2／4-1，C=A^2／4+l。
例如：A=8，B=8^2／4-1=l5，C=8^2／4+l=l7
即：8^2+l5^2=l7^2 ，64+225=289。
   以上两个解法，就是关于“毕氏三数组”的全部解法。它是绝对可靠的。 ...

楼主宣称：“以上两个解法，就是关于“毕氏三数组”的全部解法。它是绝对可靠的。”
真是这样吗？

实际上，还有许许多多的“毕氏三数组”解，并没有包含在这两种解里面，下面举一些例子：

A=20 , B=21 , C=29 ，即 20^2+21^2=29^2 , 400+441=841 。
A=28 , B=45 , C=53 ，即 28^2+45^2=53^2 , 784+2025=2809 。
A=48 , B=55 , C=73 ，即 48^2+55^2=73^2 , 2304+3025=5329 。
A=60 , B=91 , C=109 ，即 60^2+91^2=109^2 , 3600+8281=11881 。
A=84 , B=187 , C=205 ，即 84^2+187^2=205^2 , 7056+34969=42025 。
…………

ysr

勾股数普遍公式:x=2abt,y=(a^2-b^2)t,z=(a^2+b^2)t,x^2+y^2=z^2,a>b>0
为什么为全部解,没有见过证明.

luyuanhong

下面引用由ysr在 2011/01/10 00:57pm 发表的内容：
勾股数普遍公式:x=2abt,y=(a^2-b^2)t,z=(a^2+b^2)t,x^2+y^2=z^2,a>b>0
为什么为全部解,没有见过证明.

下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的帖子：

ysr

谢谢陆教授!我已收藏,确实没有见过,太详细太好了!

gaohf

衍文网友是揭露伪民科王晓明的数学爱好者,好!