四色猜测的最简单证明

雷明85639720

四色猜测的最简单证明
雷  明
（二○一六年十二月十八日）

把坎泊已证明的可约构形叫坎泊构形（K—构形），而将坎泊漏掉了的、还没有证明是否可约的构形都叫非坎泊构形或赫渥特构形（H—构形）。证明四色猜测是否正确，就只要通过坎泊的颜色交换技术，证明所有的H—构形是否都可以转化成K—构形就可以了。
1、H—构形的种类和特征：

H—构形的特征是在5—轮构形中：①　有两条连通链A—C和A—D，两链有一个共同的起始顶点2A，中途还有交叉顶点8A（如图1）等。有了连通的A—C链和A—D链，两链的相反链B—D链和B—C链分别都不可能再连通了。②　剩下的A—B链和C—D链，就其在图中与以上的A—C链和A—D链的关系上看，只有三种情况： ①  A—B链是环形的（如图1，a），②  C—D链是环形的（如图1，b），③  A—B 链和C—D链都不是环形的（如图1，c）。现在只要能证明这三种构形可以转化成K—构形就可以了。
图1中的这几个图都不可能同时移去两同色B，因为在从顶点1B（或3B）交换B—D（或B—C）时，都会产生从顶点3（或1）到顶点5（或4）的连通链B—C（或B—D），只能移去一个B，而不可能移去两个B。这也是H—构形的特征。
从图1中还可以看出，顶点6C和7D之间如果还有别的顶点时，图就不再是H—构形而是K—构形了，因为在从顶点1B（或3B）交换B—D（或B—C）时，都不会产生从顶点3（或1）到顶点5（或4）的连通链B—C（或B—D），同时移去两个B则是完全可以的。顶点6C和7D间是一条单边也是H—构形的一个特征。
由于图1中，c、d两图只是左右不同而已，应是同一种类型，所以H—构形实际上只有如图1中的a、b、c三种类型。
2、各类H—构形都可以转化成K—构形：
①  有A—B环形链的（如图2），不管是该环与A—C链和A—D链是一条相交，还是两条相交，总可以在A—B环的内、外交换C—D链，而使原来的A—C链和A—D链的一条或两条断开，构形可以转化成K—构形。只所以一定可以这样做，是因为A—C链和A—D链中，至少有顶点6C与顶点7D，还有顶点4D与顶点5C是相邻的顶点，从其中的任一对顶点进行C—D链的交换时，都可以使A—C链和A—D链断开。赫渥特图就是这样着色的。

②　有C—D环形链的（如图3），同样也不管该环与A—C链和A—D链是一条相交，还是两条相交，总可以在C—D环的内、外交换A—B链，而使原来的A—C链和A—D链的一条或两条断开，构形可以转化成K—构形。只所以一定可以这样做，则是因为A—C链和A—D链中，至少有顶点2A和顶点8A两链的公共顶点，从其中任一个进行A—B链的交换时，也都可以使A—C链和A—D链断开。敢峰—米勒图就是这样着色的。

以上两对图1，a和图1，b的着色方法都叫“断链法”，但要注意的是两种构形断链时用以交换的链是不同的。图1，a有环形的A—B链时，交换的是C—D链，而图1，b有环形的C—D链时，交换的则是A—B链。
    ③　没有环形链（如图，c，d）的的图，A—C、A—D、A—B、C—D四种链都不能进行交换，而B—C、B—D两链又不能同时交换，那就只好先交换其中之一，先移去一个B，使构形由BAB型转化成DCD型或CDC型，再进行研究。

图1，c从顶点1B进行了B—D链的交换后，得到DCD型的构形（如图4，a）；图1，d从顶点3B进行了B—C链的交换后，得到CDC型的构形（如图4，b）。两图从表面上看，都与交换前差不多，都没有任何的环形链，但该两链却都是可以同时移去两个同色D（或C）的构形。图4，a先从顶点4D进行了D—A链的交换后，就得到一个K—构形，再从顶点1D进行D—B链的交换，则可同时移去两个同色D，或者再从顶点3B进行B—D链的交换，空出B给待着色顶点；图4，b先从顶点5C进行了C—A链的交换后，也得到一个K—构形，再从顶点3C进行C—B链的交换，也可同时移去两个同色C，或者再从顶点1B进行B—C链的交换，也能空出B给待着色顶点。

图1，c从顶点3B进行了B—C链的交换后，得到CDC型的构形（如图5，a）；图1，d从顶点1B进行了B—D链的交换后，得到DCD型的构形（如图5，b），都是一个类似图1，b的H—构形，一定是可以转化成K—构形的（具体操作可见图3）。
我们把以上对图1，c和图1，d着色的方法叫做“转型法”。张彧典先生的Z—构形就可以用这种方法进行着色。总之，不管是断链法，还是转型法，都没有离开坎泊的颜色交换技术。
把图1中各构形的顶点数继续减少，只留下关键的顶点，图1就变成了图6。图1，b仍可交换C—D，用断链法使构形转化成K—构形；图1，a则不能用交换A—B的断链方法使构形转化成K—构形，而必须用转型法才能转化成K—构形；其他两个图，则仍都可用转型法使构形转化成K—构形。图1的a、c、d实际上都变成了可以同时移去两个同色B的构形了。

图6中还可以看出，b图与c（或d）图是可以相互转化的。从这里就可以看出图1，c和图1，d可以转化成图1，b的类型是必然的，而不是偶然的；相应的，图1，c和图1，d可以转化成图6，c和图6，d的类型的可以同时移去两个同色的构形也是必然的；相反的，赫渥特图用转型法转化成为可以同时移去两个同色的构形也是一个必然的结果。同时我们在着色实践中，还发现敢峰—米勒图，在连续的进行同一方向的转型交换时，构形一直是在敢峰—米勒图型构形和赫渥特图型构形之间转化着，虽然如此，但这两类构形却都是可通过断链法，使构形直接转化成K—构形的。
3、四色猜测是正确的
以上我们对H—构形的各种情况都进行了分析，并证明了其都是可以转化成K—构形的，这就应该说证明四色猜测是正确的。这些构形间的关系如图7所示，任何图只要在确定了其构形类别后，即可按图中箭头所指方向对其进行4—着色。


雷  明
二○一六年十二月十八日于长安
注：此文已于二○一六年十二月十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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leisurely

看见你一直坚持，真不容易。
N年前我在网易和你接触过。
大致明白点你在说什么。
这种只见树木不见深林的方法，唉。对错又如何？发现了地图上的规律了吗？

以前我发过我的证明给你。或许你找不到了。
我那个引理5吧好像是。说的就是这种链成环的情况。
完整证明了大四色地图上如果有AB链环和AC链环交织在一起的情况下，如果AB链环一个区域内做CD色互换，那么虽然原来交织的AC环被破坏，但会形成新的AC或AD环和原来这个AB环形成交织情况的。
我看不懂你们分无数种型讨论的情况，不敢多说。只是觉得把某种型破坏容易，大范围内有些特性不一定能破坏掉。
如果你真记起我，别说出来。

雷明85639720

leisurely朋友：
1、谢谢你的鼓励；
2、你是那一个朋友呢，你能把以前发给我的文间再发给我学习一下吗，我的信箱是：
3、请交换一下你认识的地图的规律是什么；
4、你的引理5是什么，请讲明白一些；
5、A—B环与C—D环是两条相反有色链，他们只能一个环套一个环的存在，即类似同心园一样，或者是相互独立的存在，但不能相互交叉或穿过，不知你说的“交织在一起”是指什么情况；
6、你说“如果AB链环一个区域内做CD色互换，那么虽然原来交织的AC环被破坏，但会形成新的AC或AD环和原来这个AB环形成交织情况的”。这种情况你说的可能是敢峰—米勒图的情况，虽然新产生的A—C和A—D环，但该两环却是不相交叉的，与原来的A—C和A—D环是不同的，这时在A—C环和A—D环内分别交换B—D和B—C，就会同时移去两个同色B，然后把B给待着色顶点V着上，即可；
7、构形是有无数种的，但不可免的构形就是有限的了，这就是四色猜测可证明的基础。我不知道你说的“我看不懂你们分无数种型讨论的情况”是什么意思；
8、如果一条环链能够断开（破坏），那么，不管是在小范围内还是在大范围内，都是可以实施的，不存在大范围内破坏不了的事。
9、我恳切希望你把你的文章发给我学习学习，我看一看你说的“如果AB链环一个区域内做CD色互换，那么虽然原来交织的AC环被破坏，但会形成新的AC或AD环和原来这个AB环形成交织情况的”的错误是出在那里。
10、我说话直，请谅解。

雷明85639720

leisurely朋友：
1、谢谢你的鼓励；
2、你是那一个朋友呢，你能把以前发给我的文间再发给我学习一下吗，我的信箱是：
3、请交换一下你认识的地图的规律是什么；
4、你的引理5是什么，请讲明白一些；
5、A—B环与C—D环是两条相反有色链，他们只能一个环套一个环的存在，即类似同心园一样，或者是相互独立的存在，但不能相互交叉或穿过，不知你说的“交织在一起”是指什么情况；
6、你说“如果AB链环一个区域内做CD色互换，那么虽然原来交织的AC环被破坏，但会形成新的AC或AD环和原来这个AB环形成交织情况的”。这种情况你说的可能是敢峰—米勒图的情况，虽然新产生的A—C和A—D环，但该两环却是不相交叉的，与原来的A—C和A—D环是不同的，这时在A—C环和A—D环内分别交换B—D和B—C，就会同时移去两个同色B，然后把B给待着色顶点V着上，即可；
7、构形是有无数种的，但不可免的构形就是有限的了，这就是四色猜测可证明的基础。我不知道你说的“我看不懂你们分无数种型讨论的情况”是什么意思；
8、如果一条环链能够断开（破坏），那么，不管是在小范围内还是在大范围内，都是可以实施的，不存在大范围内破坏不了的事。
9、我恳切希望你把你的文章发给我学习学习，我看一看你说的“如果AB链环一个区域内做CD色互换，那么虽然原来交织的AC环被破坏，但会形成新的AC或AD环和原来这个AB环形成交织情况的”的错误是出在那里。
10、我说话直，请谅解。

雷明85639720

转截敢峰先生看了我的《四色猜测的最简单证明》一文后，给我的来信：
“雷明先生，看了你的≪四色猜测的最简单证明≫，特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊！我相信是成功的。无论怎么说，也是超越了前人，把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者，直接用拓扑理论和技术证明，简单明了，较易被数学界人士（特别是研究者）接受，不会认为是外行胡闹。
“我是遵照拓扑原理（即我在证明中提出的七条定理），直接用演绎法（筛法）证明的，一路穷追不舍，因而只有实际演绎线路网络，辅以必要的说明附图。主图（构形）就是四色不可解线路集合（二阶图N）和证明图。整个过程我一线未加，只在必要时用隐线表示。我真希望，我们的这两个证明，能双翼辉映，使四色问题的解决终能大白于天下。
“敢峰2016年12月20日”
我立即回复说：
“方老：
“1、你老的信心真足，我很受感动；
“2、说真的，我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的，为了自已开心，对自已的成果能否表出去，得到大家的承认，在目前的学术气分下，是没有信心的，只能待后人去评说；
“3、你是名人，影响力比我大得多，是否你可以请别人看一看我的文章，再提提意见呢。
“雷明敬上”

雷明85639720

转截敢峰先生看了我的《四色猜测的最简单证明》一文后，给我的来信：
“雷明先生，看了你的≪四色猜测的最简单证明≫，特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊！我相信是成功的。无论怎么说，也是超越了前人，把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者，直接用拓扑理论和技术证明，简单明了，较易被数学界人士（特别是研究者）接受，不会认为是外行胡闹。
“我是遵照拓扑原理（即我在证明中提出的七条定理），直接用演绎法（筛法）证明的，一路穷追不舍，因而只有实际演绎线路网络，辅以必要的说明附图。主图（构形）就是四色不可解线路集合（二阶图N）和证明图。整个过程我一线未加，只在必要时用隐线表示。我真希望，我们的这两个证明，能双翼辉映，使四色问题的解决终能大白于天下。
“敢峰2016年12月20日”
我立即回复说：
“方老：
“1、你老的信心真足，我很受感动；
“2、说真的，我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的，为了自已开心，对自已的成果能否表出去，得到大家的承认，在目前的学术气分下，是没有信心的，只能待后人去评说；
“3、你是名人，影响力比我大得多，是否你可以请别人看一看我的文章，再提提意见呢。
“雷明敬上”

雷明85639720

，，，，

leisurely

我先学习你的思路吧，看着像前人的，就是不可免的构型，有多少种？你列出来。然后你是怎么证明此外无他的？
这些构型在大地图上互相拼接成一幅大地图吧？
我的意思不是大地图上破坏不了指定部分，是破坏了的话也会破坏已有的其它部分性质。如果是拼接，那拼接的地方是可以完全不管？还是你拼接的地图有染色要求，如果有，任意的破坏行为必须考虑地图的其它部分。所以分割成多块这种方法从根本上我不太了解也觉得不太可行。

leisurely

我先学习你的思路吧，看着像前人的，就是不可免的构型，有多少种？你列出来。然后你是怎么证明此外无他的？
这些构型在大地图上互相拼接成一幅大地图吧？
我的意思不是大地图上破坏不了指定部分，是破坏了的话也会破坏已有的其它部分性质。如果是拼接，那拼接的地方是可以完全不管？还是你拼接的地图有染色要求，如果有，任意的破坏行为必须考虑地图的其它部分。所以分割成多块这种方法从根本上我不太了解也觉得不太可行。