除 法 数 字 谜 （小学高年级迎春杯奥数竞赛题）

天山草

将下面竖式除法中的空格填上正确的数字：

天山草

我用编程方法能解决这问题。如果用纯分析法，比较难。
此题只有一个唯一的答案。
这种题目叫小学生做，肯定不好做。即使是做为高考题，也会难住一大批高中生。

天山草

有几个方框中的数字可以先确定下来：


现在需要判断，c1 与 c2 相减时，有没有借位？也就是说，c1=0、c2=9 有可能吗？
如果没有借位，就能确定 d1=9、d2=7。
有位网友说，肯定不可能有借位的！他的理由非常妙……

天山草

c1 与 c2 相减时，如果不够减而有借位，并且相减的结果是 1，则只能是 c1=0、c2=9。此时 91c2 = 919 是个质数。但是 91c2=b2×a1a2a3，所以 91c2 不可能是个质数。这个矛盾就说明了 c1 与 c2 相减时不会有借位的。于是，就能确定 d1=9、d2=7。



下一步该如何进行？

天山草

由于 b2×a1a2a3=91c2，b3×a1a2a3=78□，故 (b2-b3)a1a2a3=91c2-78□=121 至 139。
因为除数 a1a2a3 大于余数 130，故 b2-b3=1，从而除数 a1a2a3=131 至 139。
由于 b1×a1a2a3=2□□，所以 b1=2。
由 91c2 行和 78□ 行，因为 91 /13=7,  78/13=6, 故商为 276。
这样就知道倒数第一行的方框是 786，从而除数等于 786/6=131。
被除数等于 131×276+130=36286。

天山草

下面是采用 mathematica 软件编程的方法进行计算。


For[i = 100, i <= 200, i++,
Li = IntegerDigits ; a1 = Li[[1]]; a2 = Li[[2]]; a3 = Li[[3]];
For[j = 200, j <= 400, j++,
  Lj = IntegerDigits[j] ; b1 = Lj[[1]]; b2 = Lj[[2]]; b3 = Lj[[3]];
  x = i*j + 130; Lx = IntegerDigits[x] ; x1 = Lx[[1]]; x2 = Lx[[2]];
  x3 = Lx[[3]]; x4 = Lx[[4]]; x5 = Lx[[5]];
  y1 = i*b1; Ly1 = IntegerDigits[y1]; If[Length[Ly1] < 3, Continue[]];
  c1 = Ly1[[1]]; c2 = Ly1[[2]]; c3 = Ly1[[3]];
  y2 = i*b2; Ly2 = IntegerDigits[y2]; If[Length[Ly2] < 3, Continue[]];
  e1 = Ly2[[1]]; e2 = Ly2[[2]]; e3 = Ly2[[3]];
  y3 = i*b3; Ly3 = IntegerDigits[y3]; If[Length[Ly3] < 3, Continue[]];
  g1 = Ly3[[1]]; g2 = Ly3[[2]]; g3 = Ly3[[3]];
  z1 = 1000 x1 + 100 x2 + 10 x3 + x4 - 1000 c1 - 100 c2 - 10 c3;
  Lz1 = IntegerDigits[z1]; If[Length[Lz1] < 4, Continue[]];
  d1 = Lz1[[1]]; d2 = Lz1[[2]]; d3 = Lz1[[3]]; d4 = Lz1[[4]];
  z2 = 10 (z1 - y2) + x5;
  Lz2 = IntegerDigits[z2]; If[Length[Lz2] < 3, Continue[]];
  f1 = Lz2[[1]]; f2 = Lz2[[2]]; f3 = Lz2[[3]];
  If[(i*j > 9999 && i*j < 100000) &&  c1 == 2 &&   d2 == 0 &&  
    e2 == 1 &&  f2 == 1  && g3 == x5  &&  i > 130,
   Print[i, "---", j, "---", x]]
  ]]

运行结果为

131---276---36286

天山草

下面看看奥数老师的解答方法。

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。