四色猜测的最简单证明（完善稿）

雷明85639720

四色猜测的最简单证明（完善稿）
雷  明
（二○一六年十二月二十二日）

1、坎泊颜色交换技术的三种用途
把坎泊已证明的可约构形叫坎泊构形（K—构形），而将坎泊漏掉了的、还没有证明是否可约的构形都叫非坎泊构形或赫渥特构形（H—构形）。证明四色猜测是否正确，就只要通过坎泊的颜色交换技术，证明所有的H—构形是否都可以转化成K—构形就可以了。
坎泊的证明中，只用了他所创造的颜色交换技术中的“可以空出颜色的交换”、“可使连通链断开的交换”和“可使构形转型的交换”三种用途的一种——可以空出颜色的交换，而没有用到或者他根本就不知道他的颜色交换技术还有其他的两种作用，所以他在赫渥特所构造的图的面前就显得束手无策了。
可以空出颜色的交换一定要从5—轮的一个轮沿顶点开始，即交换的链中一定有一个顶点是5—轮的轮沿顶点；而可使连通链断开的交换则不一定含有5—轮的轮沿顶点；而可使构形转型的交换则一定是从5—轮的两个同色轮沿顶点之一开始交换的。
2、H—构形的种类和特征：
H—构形的特征是在5—轮构形中：①　有两条连通链A—C和A—D，两链有一个共同的起始顶点2A，中途还有交叉顶点8A（如图1）等。有了连通的A—C链和A—D链，两链的相反色链B—D链和B—C链分别就不可能再连通了。②　剩下的A—B链和C—D链，就其在图中与以上的A—C链和A—D链的关系上看，只有四种情况：即A—B链是环形的（如图1，a），C—D链是环形的（如图1，b），A—B 链和C—D链都不是环形的（如图1，c，d），A—B链和C—D链既都有环形部分，也都有直链部色（如图2）。现在只要能证明这四种构形都是可以转化成K—构形就可以了。

图1和图2中的这几个图都不可能同时移去两同色B，因为在从顶点1B（或3B）交换B—D（或B—C）时，都会产生从顶点3（或1）到顶点5（或4）的连通链B—C（或B—D），只能移去一个B，而不可能同时移去两个B。这也是H—构形的特征。
从图1和图2中还可以看出，顶点6C和7D之间，如果还有别的顶点时，图就不再是H—构形而是K—构形了。因为在从顶点1B（或3B）交换B—D（或B—C）时，都不会产生从顶点3（或1）到顶点5（或4）的连通链B—C（或B—D），同时移去两个B则是完全可以的。顶点6C和7D间是一条单边也是H—构形的一个特征。
由于图1中，c、d两图只是左右不同而已，应该是同一种类型，所以H—构形实际上只有如图1中的a、b、c三种类型。图2，a就是敢峰—米勒图，图2中其他几个图是我构造的几个类似敢峰—米勒图的图。

3、各类H—构形都可以转化成K—构形：
①  有A—B环形链（如图3）的图，不管该链环与A—C链和A—D链是一条相交，还是两条相交，总可以在A—B环的内、外交换C—D链，而使原来的A—C链和A—D链的一条或两条断开，使构形转化成K—构形。只所以一定可以这样做，是因为在A—C链和A—D链中，至少有两对顶点6C与7D和4D与5C是相邻的顶点，无论A—B环形链是从哪个地方穿过A—C链和A—D链的，A—B环形链的一侧总是存在着这样的两对顶点之一对的，这就保证了无论从其中的哪一对顶点进行C—D链的交换时，都可以使A—C链和A—D链断开，构形转化成K—构形。赫渥特图就是这样着色的。


②　有C—D环形链（如图4）的图，同样也不管该链环与A—C链和A—D链是一条相交，还是两条相交，总可以在C—D环的内、外交换A—B链，而使原来的A—C链和A—D链的一条或两条断开，使构形可以转化成K—构形。只所以一定可以这样做，则是因为在A—C链和A—D链中，至少有顶点2A和顶点8A是两条链的公共顶点，无论C—D环形链是从哪个地方穿过A—C链和A—D链的，C—D环形链的一侧总是存在着这样的两个公共顶点之一的，这就保证了无论从其中的哪一个公共顶点进行A—B链的交换时，也都可以使A—C链和A—D链断开，构形转化成K—构形。敢峰—米勒图就是这样着色的。
以上对图1，a和图1，b的着色方法都叫“断链法”，但要注意的是两种构形断链时所用以交换的链是不同的。如在图1，a中有环形的A—B链时，交换的是C—D链，而在图1，b中有环形的C—D链时，交换的则是A—B链。
    ③　没有环形链（如图1，c，d）的图，A—C、A—D、A—B、C—D四种链都不能进行交换，而B—C、B—D两链又不能同时交换，那就只好先交换其中之一，先移去一个B，使构形由BAB型转化成DCD型或CDC型，再进行研究。

㈠　图1，c从顶点1B进行了B—D链的交换后，得到DCD型的构形（如图5，a）；图1，d从顶点3B进行了B—C链的交换后，得到CDC型的构形（如图5，b）。两图从表面上看，都与交换前差不多，都没有任何的环形链，但该两链却都变成了可以同时移去两个同色D（或C）的构形。图5，a先从顶点4D进行了D—A链的交换后，就得到一个K—构形，再从顶点1D进行D—B链的交换，则可同时移去两个同色D，或者再从顶点3B进行B—D链的交换，空出B给待着色顶点着上；图5，b先从顶点5C进行了C—A链的交换后，也得到一个K—构形，再从顶点3C进行C—B链的交换，也可同时移去两个同色C，或者再从顶点1B进行B—C链的交换，也能空出B给待着色顶点着上。
㈡　图1，c从顶点3B进行了B—C链的交换后，得到CDC型的构形（如图6，a）；图1，d从顶点1B进行了B—D链的交换后，得到DCD型的构形（如图6，b），两图都是一个类似图1，b的H—构形，一定是可以转化成K—构形的（具体操作可见图4）。

我们把以上对图1，c和图1，d着色的方法叫做“转型法”。张彧典先生的Z—构形就可以用这种方法进行着色。总之，不管是断链法，还是转型法，都没有离开坎泊的颜色交换技术。
④　A—B环形链和C—D环形链都有（如图2）的图，其虽然都属于有环形链的类型，但要视具体情况，决定所要交换的色链。如图2，a只能交换C—D链才能使A—C链和A—D链断开，图2，b只能交换A—B链才能使A—C链和A—D链断开，而图2，c和图2，d则可任意交换A—B链或C—D链，都可以使A—C链和A—D链断开。
4、特殊情形下的H—构形向K—构形的转化
把图1和图2中各构形的顶点数不断减少，只留下关键的顶点时，图1就变成了图7。图7，b仍可交换C—D，用断链法使构形转化成K—构形；图7，a则不能用交换A—B的断链方法使构形转化成K—构形，而必须用转型法才能转化成K—构形；其他两个图，则仍都可用转型法使构形转化成K—构形。图7的a、c、d实际上都变成了可以同时移去两个同色B的构形了。
图7中还可以看出，b图与c（或d）图是可以相互转化的。从这里就可以看出图1，c和图1，d可以转化成图1，b的类型是必然的，而不是偶然的；相应的，图1，c和图1，d可以转化成图7，c和图，d类型的可以同时移去两个同色的构形也是必然的；相反的，赫渥特图用转型法可以转化成为可以同时移去两个同色的构形也是一个必然的结果。同时我们在着色实践中，还发现敢峰—米勒图，在连续的进行同一方向的转型交换时，构形一直是在敢峰—米勒图型构形和赫渥特图型构形之间转化着，尽管如此，但这两类构形却都是可通过断链交换法，使构形直接转化成K—构形的。

5、四色猜测是正确的
以上我们对H—构形的各种情况都进行了分析，并证明了其都是可以转化成K—构形的，这就应该说四色猜测得到了证明是正确的。这些构形间的关系如图8所示，任何图只要在确定了其构形类别后，即可按图中箭头所指方向对其进行4—着色。


雷  明
二○一六年十二月二十二日于长安

附录见下页：
附：转截敢峰先生看了我的《四色猜测的最简单证明》一文后，给我的来信：
“雷明先生，看了你的≪四色猜测的最简单证明≫，特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊！我相信是成功的。无论怎么说，也是超越了前人，把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者，直接用拓扑理论和技术证明，简单明了，较易被数学界人士（特别是研究者）接受，不会认为是外行胡闹。
“我是遵照拓扑原理（即我在证明中提出的七条定理），直接用演绎法（筛法）证明的，一路穷追不舍，因而只有实际演绎线路网络，辅以必要的说明附图。主图（构形）就是四色不可解线路集合（二阶图N）和证明图。整个过程我一线未加，只在必要时用隐线表示。我真希望，我们的这两个证明，能双翼辉映，使四色问题的解决终能大白于天下。
“敢峰2016年12月20日”
我立即回复说：
“方老：
“1、你老的信心真足，我很受感动；
“2、说真的，我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的，为了自已开心，对自已的成果能否表出去，得到大家的承认，在目前的学术气分下，是没有信心的，只能待后人去评说；
    “3、你是名人，影响力比我大得多，是否你可以请别人看一看我的文章，再提提意见呢。
    “雷明敬上”


注：此文初稿已于二○一六年十二月十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

本稿也于二○一六年十二月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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