数学是什么(2009旧贴)

elimqiu

科朗与罗宾合著的“数学是什么”一书把数学的一些历史，一些理论和应用作了一个介绍。让人对数学有所了解。我提出同样的问题是因为自以为懂得数学的人在什么是合理的数学对象，恰当的数学方法，数学与实践的关系这些问题上的分歧。
让我们来考虑一个对小孩简单，对大人复杂的问题： 数学中的圆是什么？
一个相当流行的定义说：平面上与某定点的连线均等于某定线段的全体点的集合称为圆周。
这个定义不是没人反对：
（a）如果点没有定义，那么上述圆的定义就不知所云
（b）如果点没有大小，就不是可实践的，线段相等在实践上是不可判定的，上述定义的圆于是不存在。
（c）有长度的曲线不可能由没有大小的点构成。
（d）圆的上述定义所确定的集合是变化着，不断构成自己的非正常集合。因为任何非有限的集合的点的枚举在实践意义下无法穷尽。
......
我以为
1）数学的对象无例外地具有抽象性。这种抽象性无例外地超越了物质世界的实践性。
   1+1=2 就够抽象的，在实践中只有一个蛋再一个蛋凑成两个蛋等等被许多表象遮盖着的个案而不会有1+1=2本身。.从具体的实践即使要达到1+1=2 这种极其简单的数学结果，也没有办法不依靠“超越"。有限的实践没有可能穷尽1+1=2 的普适性。三角形是抽象的，理想的。所有三角形的定理没有这种抽象/理想性就不能建立。
2）数学需要这种抽象性以保证其对任何个别的实践的独立，而这种独立又保证了数学的客观性。
   三角形内角和等于二直角的定理不是测量出来的（相反，根据广义相对论，测量精确到一定程度你还得到否定的结果。即便如此，欧氏几何还是不可或缺）。数学的客观性在于其确定性（不以人的意志为转移）。
3）数学的普遍应用价值也正是由于数学结果的抽象性。
   二次方程的求根公式与任何个人的开根能力无关。在抽象的数习中一次的演绎所得到的公式是人类在物质世界的所有实践也得不到的。求根公式的合理性建筑在开根所对应的数的存在性。
4）数学中的存在与物质世界中的存在没有机械的对应关系，因而物质世界中的存在，可行性不能用来判断数学中的存在，可行性。相反，正是因为数学可以行物质世界中不可行的事，才成为人类文明不可或缺的财富。
  无限循环小数 0.33333... 不应当由于其3写不完就说它不存在，或它在不断变化。因为数的存在性应当独立于人对它的任何书写，数的表达只要在所论数系中唯一确定了一个数，就是一个合法的表达。写不完不等于所表达的数在变。否则数就没有了客观性。
5）数学中的存在性与有限构造性应该是两个不同的属性。
  数学危机总是跟无穷有关。但是无穷也不是那么好避免的。直觉主义者们的愿望不错，只是他们的直觉好像也没有排斥圆这个又有限又无限的东西：作为一个整体它有限，作为点的集合含了无限的点。圆的各向同性让他们很难指出哪些点先被构造出来，而另一些又难以指望在我们的有生之年被构造完毕等等。这些人其实很难摆脱实无穷这个观念。对实无穷的接受与否是一个数学的选择，选择的结果是产生不同的数学系统。不同的系统只要有内部的相容性，就有数学的合理性。实践对数学系统的选择是通过具体的数学模型而实现的。

jzkyllcjl

数学理论需要抽象，但这种抽象是从实践中的抽象，抽象的叙述还需接受实践的检验。 1+1=2 就够抽象的，但是必须承认它、使用它。
无限循环小数 0.33333... 的无限循环的意义是“无有限制、无有终了”的意义，这个意义不能违背；这个意义说明无尽小数0.333……是无限变化着的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，它的极限是定数1/3,但这个数列不等于1/3。不能因为每一位都是3，而把0.333……看作1/3.; 等式你0.333……=1/3 是无用的，能用的近似等式 1/3≈ 0.333 或计算器中的 1/3≈0.333333333333333333333333333333333333333..书写不到的0.333……没有用处，它不是一个定数。写不完就是写不完，写不完的符号不会变成定数。否则就没有了客观性。

busybee

个人灼见：
“这个意义说明无尽小数0.333……是无限变化着的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写”
这里听着有问题，0.333……是什么？要先问下大家，你个人代表不了全世界“人”的看法，突出“人”很关键，因为数学源于“人”，“人”的需求，对于“0.333……”源于“人”的需求，那么第一个把它写成“0.333……”的人，给的定义是什么？未必是你的“无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写”，那么你定义为”0.333……是无限变化着的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写”的依据何来？
把简单的问题复杂化，把公认的定义推翻掉的价值体现在哪里？

elim

老头是资深初小四年级差班生。54年愚蠢如一日.

xfhaoym

老头有多大？比我还大？
1/3=0.3333.......写不完！所以老头说这样不对．
要是换一种写法怎么样：

jzkyllcjl

xfhaoym 发表于 2016-12-26 09:39
老头有多大？比我还大？
1/3=0.3333.......写不完！所以老头说这样不对．
要是换一种写法怎么样：

无穷项相加无法进行。 这个无穷级数和需要先求出无穷数列0.3，0.33，0.333，……然后根据这个数列的通项表达式，使用数列极限方法得出其极限为1/3. 所以 0.333……的来源是1被3除时 得到的无穷数列0.3，0.33，0.333，…… 这个数列的极限是1/3.  因此应有的表达式是0.333……是无穷数列
0.3，0.33，0.333，……的简写，与极限表达式 1/3=lim0.3333……； 而不是1/3=0.333……。 从应用上讲，后者是无用的，而从前者来看：得近似等式 1/3≈0.33333; 或 1/3≈0.3333333; 或 1/3≈0.33333333333333333333333333333333 .  

elimqiu

老头的愚蠢54年如一日从楼上可见一斑。

busybee

“极限表达式 1/3=lim0.3333……； 而不是1/3=0.333……。 从应用上讲，后者是无用的”
你认为无用，你别用，60亿地球人有（60亿-n）个人乐意用，你估计n的最大值有多少？
咬文嚼字，歇斯底里，化简为繁，虚度光阴，闲得蛋疼。
鄙人不才，却是皇帝的新装之孩童，这些“愚昧的人看不到的东西”有什么价值？最终沦为光屁股。
对一些浅显的道理不闻不理不思不问，我写了一篇浅作，想找个人指点，比登天还难，扯这些没用的东西，无休无止，给点意见会占用你们多少时间？不过A4版面一张，也不知推理是否正确，你们满腹经纶的目的应该作些有意义的事，为人解忧是一种美德，如若都在做有意义的研究，那是不能打扰，老是扯蛋，那么在扯蛋的空闲，助人为乐一把。帮我看下推理是否正确http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

elimqiu

了解楼上busybee 的观点和心情．你给出的观察与猜测不简单．我以为高手们不是不愿帮人解忧，而是还不知道如何解决你的问题．甚至还没有找到问题的合式的表述．高手不是啥题都能解决的，新手也是可能提出大难题的．很可能新手就是高手．

对具体数学问题的研究和求解固然重要，对数学本身的反思也并非就是无聊．

busybee

elimqiu 发表于 2016-12-27 03:14
了解楼上busybee 的观点和心情．你给出的观察与猜测不简单．我以为高手们不是不愿帮人解忧，而是还不知道如 ...

谢谢老师诚恳的答复，就这几句暖心窝的话，足矣！非常感谢！至少让我知道，我不是在做无用功。