四色猜测证明过程中的三部曲——空出颜色、断链和转型

雷明85639720

四色猜测证明过程中的三部曲
——空出颜色、断链和转型
雷  明
（二○一七年元月三日）

1、四色猜测证明过程中的第一部曲——空出颜色的交换
1、1  坎泊的颜色交换技术：
无论是给平面图的着色，还是对四色猜测的证明中，都一定会遇到与待着色顶点V相邻的顶点占用完了四种颜色的情况。在这种情况下，就必须想办法从待遇着色顶点的相邻顶点中空出一种颜色，才能给待遇着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一。
如何空出颜色，就得使用坎泊1879年创造的颜色交换技术了。所谓颜色交换技术，就是把一条用两种颜色交替着色的色链（即道路）上各顶点已着上的颜色相互交换。看来，只有在V的围栏顶点中，由两个不相邻的对角顶点的颜色所构成的色链不连通时，从两对角顶点之一交换该色链，才可以使该顶点的颜色改变，为从围栏顶点中空出一种颜色给V创造成条件。
1、2  坎泊颜色交换技术的三大用途：
坎泊的颜色交换技术可以有三种用途：一是交换的结果可以直接从围栏顶点中空出一种颜色，给待着色顶点着上。这时问题也就得到解决了。这种交换一定是直接从围栏顶点开始的；二是交换的结果可以使与所交换的链呈相邻链（相邻链即是有一种颜色相同的链，相反链则是两种颜色都不同的链，两种颜色都相同的链就是相同链了）的连通链断开成两部分。这种交换可以直接从围栏顶点开始，也可以不是直接从围栏顶点开始的；三是交换的结果可以使构形的类型发生变化。这一种交换只能是从5—轮构形围栏顶点中的两个同色顶点之一进行。
1、3  四色猜测证明过程中的第一部曲——空出颜色的交换：
坎泊在对四色猜测的证明中，只注意到了他的颜色交换技术的第一种作用——空出颜色，而没有看到其还有另个的两种作用。所以当赫渥特构造了赫渥特图后，他就显得敕手无策了。
由于任何平面图中都一定存在着一个顶点的度是小于等于5的，所以平面图的不可免构形就只有轮沿顶点小于等于5的六种轮构形。所以，我们在着色的过程中，总可以把某一个度小于等于5的顶点放在最后，当成待着色顶点V。这就把一个度是无限的证明问题转化成了有限的证明问题了。即只要证明了这六种构形是可约的，平面图的四色猜测就可得到证明是正确的。1879年坎泊只证明了一部分不可免构形是可约的，这就是小于等4的轮轮构形，以及可以直接从5—轮构形的围栏顶点进行交换，空出颜色给V着上的构形；但还漏掉了一部分象赫渥特图一样的不可免构形没有证明。
坎泊的证明只用到了颜色交换技术的第一个作用：空出颜色。这就是四色猜测证明过程中的第一部曲——空出颜色的交换。
2、四色猜测证明过程中的第二部曲——断链的交换
若把坎泊已经证明了是可约的平面图的不可免构形叫坎泊构形（K—构形），将其漏掉了的、还没有证明是否是可约的其他不可免的5—轮构形都叫做非坎泊构形或类赫渥特图型构形（H—构形）。则证明四色猜测是否正确，就只要通过使用坎泊的颜色交换技术，证明所有的H—构形是否都可以转化成K—构形就可以了。
2、1        类赫渥特图型构形的特征：
类赫渥特图型的构形（H—构形）有两大特点，二者缺一不可：一是有两条连通的从顶点2到顶点5的A—C链，和从顶点2到顶点4的A—D链，该两链既有共同的起始顶点2A，中途又有相互交叉的顶点8A（有了连通的A—C 链和A—D链，其相反链B—D和B—C自然就不可能再连通了）；二是不可以同时移去两个同色B。因为从围栏中的任何一个B色顶点进行交换其对角链，都会产生从另一个B色围栏顶点到其对角的连通链。只能移去一个B，而不能同时移去两个B，如图1。

从图1中还可以看出，顶点6C和7D之间，如果还有别的顶点时，图就不再是H—构形而是K—构形了。顶点6与顶点7间是一个单边，这是一个非常关键的地方，不能忽视，否则图就是可以同时移去两个同色B的构形了。由此可以看出，要解决该类构形的着色问题，只能相办法对连通的A—C链和A—D链进行断链了，使其由都连通变成有一条不连通或者两条都不连通的链，使构形变成K—构形。
2、2        赫渥特图型构形的种类：

四种颜色所能构成的六种色链，上面已提及了四种（A—C，A—D，B—C，B—D），还有A—B和C—D两种。从这两种链在图中与以上的A—C链和A—D链的关系上看，只有四种可能的情况：即A—B链是环形的（如图1，a）；C—D链是环形的（如图1，b）；A—B 链和C—D链都不是环形的（如图1，c，d）；A—B链和C—D链既都有环形部分，也都有直链部色（如图2，图2与图1的画法不同，图1的待着色顶点V是显形的，而这里的待着色顶点却上隐形的）。现在只要能证明这四种构形都是可以转化成K—构形就可以了。
由于图1中，c、d两图只是左右不同而已，应该是同一种类型，所以H—构形实际上只有如图1中的a、b、c三种类型。图2，a就是敢峰—米勒图，图2中其他几个图是我构造的几个类似敢峰—米勒图的图。
2、3        四色猜测证明过程中的第二部曲——断链的交换：
2、3、1        含有环形链的H—构形都可以转化成K—构形
图1和图2的各构形中，A—C链和A—D链都是连通的，不能交换；B—C链和B—D链又不能同时交换，也不能空出两个同色B，只交换一个又不起任何作用；所以只有想办法对A—C或A—D进行断链了，使图变成一个K—构形。

2、3、1、1  有A—B环形链（如图1，a和图3）的图，不管该环形链与A—C链和A—D链是一条相交，还是两条相交，总可以在A—B环的内、外交换C—D链，而使原来的A—C链和A—D链的一条或两条断开，使构形转化成K—构形。只所以一定可以这样做，是因为在A—C链和A—D链中，至少有两对顶点6C与7D和4D与5C是直接相邻的两个顶点，无论A—B环形链是从哪个地方穿过A—C链和A—D链的，A—B环形链的某一侧至少是存在着这样的两对顶点之一对的。这就保证了无论从其中的哪一对顶点进行C—D链的交换时，都可以使A—C链和A—D链断开，使构形转化成K—构形。赫渥特图就是这样着色的。

2、3、1、2  有C—D环形链（如图1，b和图4）的图，同样也不管该环形链与A—C链和A—D链是一条相交，还是两条相交，总可以在C—D环的内、外交换A—B链，而使原来的A—C链和A—D链的一条或两条断开，使构形转化成K—构形。只所以一定可以这样做，则是因为在A—C链和A—D链中，至少有顶点2A和顶点8A是两条链的公共顶点，无论C—D环形链是从哪个地方穿过A—C链和A—D链的，C—D环形链的一侧至少是存在着这样的两个公共顶点之一的，这就保证了无论从其中的哪一个公共顶点进行A—B链的交换时，也都可以使A—C链和A—D链断开，使构形转化成K—构形。敢峰—米勒图就是这样着色的。
用以上的断链方法对图1，a和图1，b图着色时，要注意的是两种构形断链时所用以交换的链是不同的。如在图1，a中有环形的A—B链时，交换的是C—D链，而在图1，b中有环形的C—D链时，交换的则是A—B链。赫渥特图中只有环形的C—D链，所以其只有一种断链的方法，只能任意交换环形的C—D链两侧的A—B链，使图变成K—构形；而敢峰—米勒图中既有环形的A—B链，又有环形的C—D链，所以其不但可以交换环形的A—B链两侧的C—D链，也可以交换环形的C—D链两侧的A—B 链，都可以使图变成K—构形。
2、3、1、3  A—B环形链和C—D环形链都有（如图2）的图，其都属于有环形链的类型，都可以任意交换C—D链或A—B链，使A—C链和A—D链断开。这种情况只有含有2A和8A的A—B环形链与含有5C—4D和6C—7D的C—D环形链是不可能同时出现的。因为图中的2A、6C—7D、8A、5C—4D有序排列的，有了含2A和8A的A—B环形链，5C—4D和6C—7D就被分隔在A—B环形链的内、外两侧了；而有了含5C—4D和6C—7D的C—D环形链，2A和8A也就被分隔在C—D环形链的内、外两侧了。
以上就是四色猜测证明过程中的第二部曲——断链的交换。
3、四色猜测证明过程中的第三部曲——转型的交换
3、1  什么是转型交换：5—轮构形中的围栏顶点，四种颜色中总有一种颜色是用了两次的，如B色用了两次，1B和3B两个B中间至少要隔一种颜色，如相隔顶点2的A色，其他两个顶点分别是5C和4D。这种类型就叫双B夹A型，用123—BAB表示。其他还有双A夹B（ABA）型，双C夹D（CDC）型和双D夹C（DCD）型。在123—BAB型中，从顶点1这一个B交换B—D，移去了一个B，构形也就转化成了451—DCD型；而从顶点3另一个B交换B—C，也能移去一个B，但构形则变成了345—CDC型。把这样的交换就叫做转型交换
3、2  不含有环形链的H—构形也都可以转化成K—形：
不含有环形链（如图1，c，d）的图，A—C、A—D、A—B、C—D四种链都不能进行交换，而B—C、B—D两链又不能同时交换，那就只好先交换其中之一，先移去一个B，使构形由123—BAB型转化成451—DCD型（如图5，a）或345—CDC型（如图5，b），再进行研究。把这种着色的方法叫做转型法。

3、2、1  图1，c从顶点1B进行了B—D链的交换后，得到451—DCD型的构形（如图5，a）；图1，d从顶点3B进行了B—C链的交换后，得到345—CDC型的构形（如图5，b）。两图从表面上看，都与交换前差不多，都没有任何的环形链，但该两图却都变成了可以同时移去两个同色D（或C）的构形。图5，a先从顶点4D进行了D—A链的交换后，就得到一个K—构形，再从顶点1D进行D—B链的交换，则可同时移去两个同色D，或者再从顶点3B进行B—D链的交换，空出B给待着色顶点着上；图5，b先从顶点5C进行了C—A链的交换后，也得到一个K—构形，再从顶点3C进行C—B链的交换，也可同时移去两个同色C，或者再从顶点1B进行B—C链的交换，也能空出B给待着色顶点着上。
3、2、2  图1，c从顶点3B进行了B—C链的交换后，得到345—CDC型的构形（如图6，a）；图1，d从顶点1B进行了B—D链的交换后，得到451—DCD型的构形（如图6，b），两图都是一个类似图1，b的类赫渥特图型的H—构形，一定是可以转化成K—构形的（具体操作可见图4）。

我们把以上对图1，c和图1，d着色的方法叫做“转型法”。张彧典先生的第八构形（我叫它Z—构形）就可以用这种方法进行着色。总之，不管是第二部曲的断链法，还是第三部曲的转型法，都没有离开坎泊的颜色交换技术。
4、不含任何环形链的H—构形（Z—构形）一定可以转化为K—构形的证明
4、1  特殊情形下的H—构形向K—构形的转化：
把图1和图2中各构形的顶点数不断减少，只留下关键的顶点时，图1就变成了图7。图7，b仍可交换C—D链，用断链法使构形转化成K—构形；图7，a则不能用交换A—B的断链方法使构形转化成K—构形，而必须用转型法才能转化成K—构形；其他两个图，则仍都可用转型法使构形转化成K—构形。但要注意的是，图7，c要先从顶点1进行交换，而图7，d则要先从顶点3进行交换。图7的a、c、d三个图实际上都变成了可以同时移去两个同色B的K—构形了。

4、2  不含任何环形链的H—构形（Z—构形）一定可以转化为K—构形的证明：
从图7中可以看出，只所以图7，a、图7，c和图7，d可以同时移去两个同色B，是因为两个同色顶点1B和2B中至少有一个B色顶点到A—C链和A—D链的交叉顶点8A有一条连通的B—A边。以致从1B交换了B—D后，生成了从8A到1B的A—D边，使得从3B到5C不可能再有连通的B—C 链；而从3B交换了B—C后，则生成了从8A到3B的A—C边，也使得从1B到4D不可能再有连通的的B—D链，从而可以同时移去两个同色。前面已经讲过，图1中，顶点6和7之间是不能再有别的顶点的，否则图就是一个K—构形了。同样的，图7的这几个图中顶点6和7之间也是不能再有别的顶点的。
现在再来看看图1，c和图，d是不是也有这样的情况。与图1和图7相同，不但在顶点6和7之间，不能再有别的顶点，而且顶点6与其右侧的D色顶点之间，以及顶点7与其左侧的C色顶点之间，也都不能再有别的顶点。否则，就不可能从顶点1交换了B—D后，产生从顶点3到顶点5的连通的B—C链，也不可能从顶点3交换了B—C后，也产生从顶点1到顶点4的连通的B—D链。图就不可能再是H—构形而是K—构形了。除此三条边外，其他的边均又可看成是一条链。

对图1，c从顶点1交换了B—D后的图（如图8，a），是一个451—DCD型5—轮构形，新生成的连通链C—A和C—B的交叉顶点是6C，从6C到一个同色顶点4D有一条C—D链；从顶点4交换D—A链后，生成了从交叉顶点6C到4A的C—A链（如图8，b），使得不可能再从顶点1到3有连通的D—B链；再从顶点1交换D—B链时，就可空出两个同色D给待着色顶点V（如图8，c），或者从顶点3交换B—D链，则可空出B给待着色顶点V（如图8，d）。

对图1，d从顶点3交换了B—C后的图（如图9，a），是一个345—CDC型5—轮构形，新生成的连通链D—A和D—B的交叉顶点是7D，从7D到一个同色顶点5C有一条C—D链；从顶点5交换C—A链后，生成了从交叉顶点7D到5A的D—A链（如图9，b），使得不可能再从顶点1到3有连通的C—B链；再从顶点3交换C—B链时，就可空出两个同色C给待着色顶点V（如图9，c），或者从顶点3交换B—C链，则可空出B给待着色顶点V（如图9，d）。
对图1，c和图1，d分别从顶点3交换了B—C和从顶点1交换了B—D后的图如图10，a和图10，b。图10，a是一个345—CDC型5—轮构形，图10，b则是一个451—DCD型5—轮构形。两图中都有环形的A—B链，都是类赫渥特图型的H—构形，都是可以再转化为K—构形而可约的。
Z—构形一定可以转化为赫渥特图型的H—构形可以证明如下：
Z—构形的最简模型是“十五点形”，如图1所示。该构形中有个过顶点2A—3B—8A—7D—2A（或2A—1B—8A—6C—2A）的圈，当从顶点1交换B—D（或从顶点3交换B—C）时，顶点7D变成了7B（顶点6C则变成了6B），就形成了一条环形的A—B链，把C—D链分成了互不连通的两部分，构形具有了赫渥特图型的H—构形的特点，是一个赫渥特图型的H—构形，一定是可以转化为K—构形的。“十五点形”是这样，“非十五点形”也是这样，所以说，这一转化不是偶然的，而是一个必然的结果。

通过证明，可以看出，不含任何环形链的H—构形（Z—构形）一定可以转化为K—构形，这不是偶然的，而是一个必然的过程。该类构形既可以直接转化成可以同时移两个同色的K—构形，也可以先转化成类赫渥特图型的构形后，再转化成K—构形。
所以说，不管怎么说，也不管是什么样的Z—构形，通过一次转型交换后，有几种可能：一种是转化成为赫渥特图型的H—构形，再通过一次断链交换转化成K—构形；再一种是直接转化成为可以同时移去两个同色的K—构形。总之，都说明了任何Z—构形都是可以转化成为坎泊的K—构形的，是可约的。
从图7中还可以看出，图7，b与图7，c（或d）是可以通过转型交换进行相互转化的。从着色实践中我们还发现，敢峰—米勒图与类赫渥特图型的构形也是可以通过转型交换进行相互转化的。虽然他们之间可以相互转化，但他们也都是可以用自已所独有的交换方式转化成K—构形而可约（见以上的证明中）。
5、四色猜测是正确的
以上我们对H—构形的各种情况都进行了分析，三部曲也已经唱完了，并证明了这些构形都是可以转化成K—构形的，也证明了不含任何环形链的H—构形（即Z—构形）是一定能够转化成K—构形的。说明了任何情况下的H—构形都是可约的。加上坎泊已经证明过是可约的所有K—构形，就说明了平面图的所有不可免构形都是可约的了。这就使四色猜测得到了证明是正确的。平面图的不可免构形间的关系如图12所示，任何图只要在确定了其构形类别之后，即可按图中箭头所指方向对其进行4—着色了。


雷  明
二○一七年元月三日于长安

注：此文是由二○一六年十二月二十二日的《四色猜测的最简单证明》修改而成的。题目改成了现在的《四色猜测证明过程中的三部曲——空出颜色、断链和转型》。


附录：
转截敢峰先生看了我的《四色猜测的最简单证明》一文后，给我的来信：
“雷明先生，看了你的≪四色猜测的最简单证明≫，特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊！我相信是成功的。无论怎么说，也是超越了前人，把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者，直接用拓扑理论和技术证明，简单明了，较易被数学界人士（特别是研究者）接受，不会认为是外行胡闹。
“我是遵照拓扑原理（即我在证明中提出的七条定理），直接用演绎法（筛法）证明的，一路穷追不舍，因而只有实际演绎线路网络，辅以必要的说明附图。主图（构形）就是四色不可解线路集合（二阶图N）和证明图。整个过程我一线未加，只在必要时用隐线表示。我真希望，我们的这两个证明，能双翼辉映，使四色问题的解决终能大白于天下。
“敢峰2016年12月20日”
我立即回复说：
“方老：
“1、你老的信心真足，我很受感动；
“2、说真的，我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的，为了自已开心，对自已的成果能否表出去，得到大家的承认，在目前的学术气分下，是没有信心的，只能待后人去评说；
    “3、你是名人，影响力比我大得多，是否你可以请别人看一看我的文章，再提提意见呢。
    “雷明敬上”

注：此文已于二○一七年元月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

leisurely

我还是想知道我那个图你是怎么交换的。按我说的最外的C点和外围的ABA5都连着的情况下。现在我发不出图。
你原来交换是C和它们都不连的情况下做的。

雷明85639720

你这个要求我可以办到，但你也得把你的着色方法拿出来看看哟。

雷明85639720

leisurely朋友：
1、你的图我前些天不是已经给你着上了颜色了吗，网址是：（《中国博士网》的网址在这里发不上去，你可以到那里去看看，可能这里我也发过），你自已可以去看看。
2、你后来说的C1所连的园环表示与最外圈的顶点都相邻，但即就是这样做了，对你的图的着色也没有什么影响，仍然是我上次所着色的结果。你可以好好的看一看，因为就是按你现在说的，把C1点和最个那些点都连上，也不影响你原所着色的图的特征，仍是一个可以同时移去两个同色C的图，并不影响着色的最终结果，V仍是可以着上C或B的。
3、你可能还不理解我说的“可以同时移去两个同色”是什么意思，我可以给你说说。你看与V相邻的不是有5个顶点吗，其中有C1和C3着了C色，这就是“两个同色”。“可以同时移去两个同色”就是说，可以连续的把这两个顶点的B色移去，空了出来，然后给V着上。你看看我不是连续的交换了两个C吗，结果不就是可以给V着上了C 吗。

雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

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tmgih

众里寻他千百度，蓦然回首在这里！












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雷明85639720

tmgih朋友，什么意思呢。